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Aufgabe mit Lösung Energieerhaltungssatz: maximale Fallgeschwindigkeit

Ein Nokia 6310 wird von einem 20 Meter hohen Turm fallen gelassen. Mit welcher Geschwindigkeit prallt es am Boden auf?

Handy-Gewicht: 111 Gramm.

Lösungstipps

Vernachlässige Reibung und benutze den Energieerhaltungssatz.

Lösung

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Potentielle Energie (hier eines Apfels) - nahe der Planetoberfläche.

Auf der Höhe \( h = 20 \, \text{m} \) hat das Handy eine potentielle Energie, die sich durch die folgende Formel berechnen lässt:

Formel: Potentielle Energie1\[ E_{\text{pot}} ~=~ m \, g \, h \]

Beim Fallen nimmt die Höhe ab. Weil die Höhe abnimmt, nimmt dementsprechend nach der Formel 1 auch die potentielle Energie ab. Die Energie kann nach dem Energieerhaltungssatz nicht verloren gehen; vorallem weil Luftreibung vernachlässigt wird! Aus diesem Grund muss sich die potentielle Energie in eine andere Energieform umwandeln. Man kann an der zunehmenden Fallgeschwindigkeit des Handy feststellen, dass sie sich in kinetische Energie umwandelt. Diese kannst Du folgendermaßen berechnen:

Formel: Kinetische Energie2\[ E_{\text{kin}} ~=~ \frac{1}{2} \, m \, v^2 \]

Das Ziel der Quest ist es, herauszufinden, welche Geschwindigkeit das Handy auf der Höhe \( h = 0 \) (am Erdboden) erreicht. An diesem Punkt besitzt das Handy keine potentielle Energie mehr, dafür ist aber seine kinetische Energie maximal. Nach der Energieerhaltung müssen die beiden Energiebeiträge 1 und 2 zu jeder Zeit gleich sein:3\[ m \, g \, h ~=~ \frac{1}{2} \, m \, v^2 \]

Forme 3 nach der Geschwindigkeit \( v \) um:

Maximale Geschwindigkeit - aus einer Höhe4\[ v ~=~ \sqrt{2g\,h} \]

Setze nur noch die gegebene Höhe \( h \) ein. Die Fallbeschleunigung beträgt \( 9.8 \, \frac{\text m}{\text{s}^2} \). Wie Du an 4 siehst, ist die Masse des Handys zur Berechnung nicht notwendig:5\[ v ~=~ \sqrt{2 \cdot 9.8 \, \frac{\text m}{\text{s}^2} \cdot 20 \, \text{m}} ~=~ 19.8 \,\frac{\text m}{\text s} \]

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