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Aufgabe mit Lösung Potentielle Energie einer Dreieck- und Quadrupolanordnung

Bestimme die potentielle Energie \(W\), die in den folgenden elektrischen Ladungsanordnungen steckt.

  1. Dreieck-Ladungsanordnung mit Punktladungen \(Q_1\), \(Q_2\) und \(Q_3\). Alle Ladungen haben den Abstand \(d\) zueinander.
  2. Quadrupol-Anordnung mit zwei Punktladungen \(Q\) und zwei Punktladungen \(-Q\) mit Abstand \(d\).
Lösungstipps

Benutze das Potential, welches eine elektrische Ladung \(Q\) im Abstand \(r\) erzeugt:\[ \varphi(r) ~=~ \frac{Q}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{1}{r} \]

Die potentielle Energie einer Ladung \(q\), die im Abstand \(r\) zu der Quelladung \(Q\) platziert wird, ist dann gegeben durch:\[ W ~=~ q \, \varphi(r) \]

Lösung

Lösung zu (a) anzeigen
Drei Ladungen sind in einem Dreieck angeordnet.

Um die potentielle Energie zu berechnen, wird das Superpositionsprinzip ausgenutzt. Dieses Prinzip besagt, dass die elektrische Gesamtkraft \(F\) auf eine Probeladung, welche von beliebigen Ladungsverteilungen ausgeübt wird, gegeben ist durch die Summe der Kräfte \(F_1, F_2,~...\) aller einzelnen Quellladungen, die eine Kraft auf die Probeladung ausüben:\[ F ~=~ F_1 + F_2 + ... +F_n \]

Diese Eigenschaft überträgt sich auch auf elektrische Felder und Potentiale. Deshalb wird im Folgenden die Dreieck-Anordnung Ladung für Ladung aufgebaut, um dann daraus die Summe der potentiellen Energien zu bilden.

Da hier Punktladungen betrachtet werden, ist das elektrische Potential, welches von der Ladung \(Q_1\) ausgeht, gegeben durch:1\[ \varphi(r) ~=~ \frac{Q_1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{1}{r} \]

Das Potential \(\varphi\) gibt die potentielle Energie pro Ladung am Ort \(r\) an.

Wenn eine andere Ladung \(Q_2\) im Abstand \(r\) zu \(Q_1\) platziert wird, dann hat diese Ladung \(Q_2\) die folgende potentielle Energie:2\[ W_1 ~=~ Q_2 \, \varphi(r) ~=~ Q_2 \, \frac{Q_1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{1}{r} \]

Nach der Aufgabenstellung wird die Ladung \(Q_2\) im Abstand \(d\) zu der Ladung \(Q_1\) platziert. Also:2\[ W_1 ~=~ Q_2 \, \frac{Q_1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{1}{d} \]

Nun handelt es sich um eine neue Ladungsanordnung: Das Gesamtpotential wird jetzt nicht mehr durch eine Ladung \(Q_1\) bestimmt, sondern auch durch die andere Ladung \(Q_2\). Um also die potentielle Energie der dritten Ladung \(Q_3\) zu bestimmen, muss zuerst das Potential, welches sowohl von \(Q_1\) als auch von \(Q_2\) abhängig ist, berechnet werden. Und das ist nicht schwer, denn das Superpositionsprinzip erlaubt zuerst die potentielle Energie zu berechnen, die eine weitere Ladung \(Q_3\) haben wird, wenn sie im Abstand \(d\) zu \(Q_1\) 3\[ W_2 ~=~ Q_3 \, \frac{Q_1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{1}{d} \]

und dann die potentielle Energie von \(Q_3\), wenn sie im Abstand \(d\) zu \(Q_2\) platziert wird:4\[ W_3 ~=~ Q_3 \, \frac{Q_2}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{1}{d} \]

Die gesamte potentielle Energie \(W\) dieser Dreieck-Anordnung ist also die Summe von 2, 3 und 4:

5\[ W ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{1}{d} \, \left( Q_1 \, Q_2 + Q_1 \, Q_3 + Q_3 \, Q_2 \right) \]

Wenn beispielsweise \(Q_1 = Q_2 = Q_3 = e \) ist, dann wird 5 zu:6\[ W ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{3 e^2}{d} \]Diese Energie steckt also im System aus drei positiven Elementarladungen \(e\), die jeweils im Abstand \(d\) zueinander sind. Wenn diese Ladungen nicht durch eine externe Kraft in diesem Abstand \(d\) zueinander zusammengehalten werden, ist die Dreieck-Anordnung instabil. Die Ladungsträger werden ihre potentielle Energie in kinetische Energie durch die gegenseitige Abstoßung umwandeln.

Wenn dagegen \(Q_1 = -e \) und \(Q_2 = Q_3 = e \), wird 5 zu:7\[ W ~=~ -\frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{e^2}{d} \]

Dieses System hat eine negative potentielle Gesamtenergie. Dieses System ist stabil und diese Energie wäre notwendig, um das System zu zerstören.

Lösung zu (b) anzeigen
Ein Quadrupol.

Es wird genauso wie in der Teilaufgabe (a) vorgegangen. Die Ladung \(-Q\) verursacht ein negatives Potential im Abstand \(d\), welches gegeben ist durch:8\[ \varphi(d) ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{-Q}{d} \]

Wenn eine positive Ladung \(+Q\) in den Abstand \(d\) zu \(-Q\) gebracht wird, dann hat das System die potentielle Energie:9\[ W_1 ~=~ Q \, \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{-Q}{d} \]

Das ist also die Energie eines elektrischen Dipols, welches aus einer positiven und negativen Ladung besteht. Eine dritte Ladung \(-Q\), die so wie in der Abbildung zum Dipol gebracht wird, hat dann die potentielle Energie:10\[ W_2 ~=~ -Q \, \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \left( \frac{Q}{d} + \frac{-Q}{\sqrt{2} \, d} \right) \]

In 10 muss beachtet werden, dass \(-Q\) im Abstand zur anderen Ladung \(-Q\) (siehe Abbildung) nicht den Abstand \(d\) hat, sondern den Abstand, der durch die Diagonale gegeben ist. Dieser kann leicht mit dem Satz des Pythagoras herausgefunden werden: \(\sqrt{d^2 + d^2}\).

Um einen Quadrupol zu erhalten, wird noch die letzte positive Ladung \(+Q\) zu der Ladungsanordnung aus drei Ladungen gebracht. Die neue Ladung hat dann die folgende potentielle Energie:11\[ W_3 ~=~ Q \, \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \left( \frac{-Q}{d} + \frac{-Q}{d} + \frac{Q}{\sqrt{2} \, d} \right) \]auch hier muss der Diagonalen-Abstand von \(+Q\) und \(+Q\) beachtet werden.

Die Summe von 9, 10 und 11 ergibt die gesamte potentielle Energie des Quadrupols:12\[ W ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{Q^2}{d} \left( -4 + \sqrt{2} \right) \]

wobei hier \( \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \) verwendet wurde. Die Klammer ausgerechnet, also:

13\[ W ~\approx~ -\frac{2.6 \, Q^2}{4\pi \, \varepsilon_0 \, d} \]
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