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Aufgabe mit Lösung Richtungsableitung von der Betragsfunktion am Ort (1,0,1) in Richtung (2,2,1)

Gegeben ist die Betragsfunktion \[ |\boldsymbol{r}| ~=~ \sqrt{ x^2 ~+~ y^2 ~+~ z^2 } \]Bestimme die Steigung am Ort (1,0,1) in Richtung \( \boldsymbol{v} \) = (2,2,1).

Lösungstipps

Schau Dir, wie die Richtungsableitung definiert ist.

Lösung

Lösung anzeigen

Um die Steigung (Ableitung) der Funktion |\( \boldsymbol{r} \)| an einem bestimmten Ort in gewisse Richtung zu berechnen, bedienst Du Dich folgender Formel für Richtungsableitung: \[ \frac{ \partial{|\boldsymbol{r}|} }{ \partial{\boldsymbol{v}_n} } ~=~ \boldsymbol{\nabla} \, |\boldsymbol{r}| ~\cdot~ \boldsymbol{v}_n \]wobei der Richtungsvektor \( \boldsymbol{v} \) normiert sein muss! Also: \( \boldsymbol{v}_n ~=~ \frac{1}{3} (2,2,1) \).

Den Gradienten von |\( \boldsymbol{r} \)| hast Du in der Aufgabe: "Gradient vom Betrag r eines Ortsvektors" bereits berechnet: \[ \boldsymbol{\nabla} \, |\boldsymbol{r}| ~=~ \frac{1}{ \sqrt{x^2 ~+~ y^2 ~+~ z^2} } (x,y,z) \]

Setze in den Gradienten den Ort (1,0,1) ein, an dem Du die Richtungsableitung bestimmen willst: \[ \boldsymbol{\nabla} \, |\boldsymbol{r}| ~=~ \frac{1}{\sqrt{2}} (1,0,1) \]

Multipliziere den Gradientenvektor anschließend mit der Richtung in die Du die Steigung berechnen willst: \[ \frac{ \partial{|\boldsymbol{r}|} }{ \partial{\boldsymbol{v}_{n}} } ~=~ \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1) ~\cdot~ \frac{1}{3} (2,2,1) \]

Das ergibt eine Steitung: \[ \frac{ \partial{|\boldsymbol{r}|} }{ \partial{\boldsymbol{v}_n} } ~=~ \frac{1}{\sqrt{2}} \]

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