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Aufgabe mit Lösung Wellenlänge des monochromatischen parallelen Lichts beim Doppelspalt

Abstand \( a \) zwischen dem Doppelspalt und dem Schirm. Interferenzstreifen-Abstand \( x \) und der vom rechtwinkligen Dreieck eingeschlossene Winkel \( \theta \) sind hier wichtig.

Monochromatisches Licht trifft parallel den Doppelspalt, dessen beide Spalte den Abstand \( g ~=~ 0.8 \, \text{mm} \) haben. Du beobachtest auf dem Schirm, der vom Doppelspalt \( a ~=~ 5 \, \text{m} \) entfernt ist, Interferenzstreifen. Dabei haben 2 helle Streifen den Abstand \( x ~=~ 3.5 \, \text{mm} \) zueinander.

Welche Wellenlänge \( \lambda \) hat das Licht?

Lösungstipps

Benutze eine Skizze zum Doppelspalt. Hilft enorm! Benutze aber auch Dein Wissen, aus dem Artikel zum Doppelspaltexperiment.

Lösung

Lösung anzeigen

Da das monochromatische Licht parallel den Doppelspalt trifft, kommen die Lichtwellen an beiden Spalten in Phase an. Und, weil die Wellen in Phase sind, gilt die Bedingung für konstruktive Interferenz folgendermaßen: 1 \[ \Delta s ~=~ m \, \lambda \]

Dabei ist \( \Delta s \) der Gangunterschied. Wir haben die Bedingung für konstruktive und nicht destruktive Interferenz genommen, weil in der Aufgabenstellung der Abstand zweier heller und nicht dunkler Streifen gegeben ist.

Außerdem ist der Abstand vom Spalt zum Schirm \( a ~=~ 3 \, \text{m} \) viel größer als der Spaltabstand \( g ~=~ 0.3 \, \text{mm} \). Das heißt: Du darfst die folgende Näherung verwenden: 2 \[ \tan(\phi) ~\approx~ \sin(\phi) ~=~ \frac{x}{a} \]

Aus dem rechtwinkligen Dreieck, wo die Gegenkathete der Gangunterschied \( \Delta s \) ist, gewinnst Du die Informtion: 3 \[ \sin(\phi) ~=~ \frac{\Delta s}{g} \]

Setze 2 und 3 gleich und Du bekommst: 4 \[ \frac{x}{a} ~=~ \frac{\Delta s}{g} \]

Setze auch die Bedingung für konstruktive Interferenz 1 in 4 ein: 5 \[ \frac{x}{a} ~=~ \frac{m \, \lambda}{g} \]

Nun hast Du eine Beziehung hergeleitet, die nur Größen enthält, die in der Aufgabenstellung gegeben sind. Forme 5 nur noch nach der gesuchten Wellenlänge um: 6 \[ \lambda ~=~ \frac{x \, g}{m \, a} \]

Unter der Annahme, dass die hellen Streifen stets den gleichen Abstand haben und in der Aufgabe nichts weiteres dazu gesagt wurde, kannst Du den Abstand vom 0. zum 1. Maximum betrachten. Dann ist \( m ~=~ 1 \). Einsetzen der gegebenen Größen ergibt: 7 \[ \lambda ~=~ \frac{ 3.5 \cdot 10^{-3}\text{m} ~\cdot~ 0.8 \cdot 10^{-3}\text{m} }{ 1 ~\cdot~ 5\text{m} } ~=~ 5.6 \cdot 10^{-7} \, \text{m} \]

Das entspricht einer Wellenlänge von \( 560 \text{nm} \), was einem grünen Licht entspricht.

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