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Aufgabe mit Lösung Kondensator mit und ohne Dielektrikum im Vergleich

Plattenkondensator

Betrachte ein Plattenkondensator mit der Plattenfläche \(A\) und Abstand \(d\) zwischen den Elektroden. Im Inneren des Plattenkondensators befindet sich zur Hälfte ein Dielektrikum mit der relativen Permittivität \(\varepsilon_1\) und zur anderen Hälfte ein Dielektrikum mit der relativen Permittivität \(\varepsilon_2\).

  1. Wie groß ist die Kapazität des Kondensators mit den beiden Dielektrika?
  2. Um welchen Faktor ändert sich die Spannung mit Dielektrika im Vergleich zur Spannung ohne Dielektrika?
  3. Um welchen Faktor ändert sich die elektrische Energie mit Dielektrika im Vergleich zur Energie ohne Dielektrika?
Lösungstipps

Benutze die Formeln für Kapazität, Spannung und elektrische Energie des Plattenkondensators.

Lösung

Lösung zu (a) anzeigen
Parallelschaltung von zwei Kondensatoren.

Da im Plattenkondensator zur einen Hälfte ein Dielektrikum und zur anderen Hälfte ein anderes Dielektrikum gefüllt ist, kann das Problem als eine Parallelschaltung von zwei Kondensatoren betrachtet werden, die jeweils eine Plattenfläche \(A/2\) haben (weil das Dielektrikum nur die Hälfte des Kondensators ausfüllt).

In einer Parallelschaltung von Kondensatoren ist die Gesamtkapazität die Summe einzelner Kapazitäten:1\[ C = C_1 + C_2 \]wobei hier \(C_1\) die Kapazität des einen Kondensators und \(C_2\) die Kapazität des anderen Kondensators ist, die noch konkret bestimmt werden müssen. Die Kapazität des ersten Plattenkondensators mit der relativen Permittivität \(\varepsilon_1\):2\[ C_1 = \varepsilon_0 \, \varepsilon_1 \, \frac{A}{d} \]

Analog ist die Kapazität des anderen Kondensators mit der relativen Permittivität \(\varepsilon_2\):3\[ C_2 = \varepsilon_0 \, \varepsilon_2 \, \frac{A}{d} \]

Die Gesamtkapazität ist also die Summe von 2 und 3:4\[ C = \varepsilon_0 \, \frac{A}{d} \, ( \varepsilon_1 + \varepsilon_2 ) \]

Lösung zu (b) anzeigen

Die Spannung und die Ladung sind in einem Plattenkondensator proportional:5\[ Q = C \, U \]

Unter der Annahme, dass die Ladung \(Q\) konstant gehalten wird, ist die Spannung am Kondensator mit der Plattenfläche \(A\) und mit Vakuum dazwischen gegeben durch:6\[ U_0 = \frac{Q \, d}{\varepsilon_0 \, A} \]

Es wurde lediglich die Formel für die Kapazität des Plattenkondensators mit der rel. Permittivität = 1 benutzt. Und die Spannung mit den beiden Dielektrika resultiert durch Einsetzen der Gesamtkapazität 4 in 5:7\[ U = \frac{Q \, d}{\varepsilon_0 \, A} \, \frac{2}{\varepsilon_1 + \varepsilon_2} \]

Der Vergleich von 6 und 7 ergibt, dass die Spannung am Plattenkondensator mit den beiden Dielektrika sich um den Faktor 8\[ \frac{2}{\varepsilon_1 + \varepsilon_2} \]verändert hat.

Lösung zu (c) anzeigen

Die elektrische Energie \(W\), die im Plattenkondensator gespeichert ist, ist gegeben durch:9\[ W = \frac{1}{2} \, C \, U^2 \]

Einsetzen der Kapazität des Plattenkondensators mit Vakuum zwischen den Platten (analog zur Teilaufgabe b) ergibt die folgende Energie:10\[ W_0 = \frac{1}{2} \, \varepsilon_0 \, \frac{A}{d} \, U^2 \]

Einsetzen von der Kapazität 4 für ein Kondensator mit den beiden Dielektrika in die Gleichung 9:11\[ W = \frac{1}{2} \, \varepsilon_0 \, \frac{A}{d} \, \frac{\varepsilon_1 + \varepsilon_2}{2} \, U^2 \]

Der Vergleich von 10 und 11 ergibt, dass die elektrische Energie am Plattenkondensator mit den beiden Dielektrika sich um den Faktor 12\[ \frac{\varepsilon_1 + \varepsilon_2}{2} \]verändert hat.

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