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Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Aufgabe mit Lösung Kreuzprodukt mittels Levi-Civita-Tensor

Berechne das Kreuzprodukt \( \boldsymbol{v}\times{}\boldsymbol{B} \) durch Ausnutzung des Levi-Civita-Tensors.

Hierbei sind \( \boldsymbol{v} \) und \( \boldsymbol{B} \) dreidimensionale Vektoren.

Lösungstipps

Nutze die Definition des Levi-Civita-Tensors \(\varepsilon_{ijk}\) und schaue, welche Summanden wegfallen. Es fallen bei jeder Komponente alle außer zwei Summanden weg.

Lösungen

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Definition des Kreuzproduktes mittels Levi-Civita-Tensor ist (mit Einstein-Summenkonvention):1\[ \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} ~=~ \varepsilon_{ijk} \, \boldsymbol{\hat{e}}_j \, v_j \, B_k \]

Betrachte einzelne Komponenten des Kreuzproduktes. Halte es allgemein und schreibte die \( i \)-te Komponente hin. Dabei steht \(i\) für die erste, zweite oder dritte Komponente:2 \[ \left( \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} \right)_i ~=~ \varepsilon_{ijk} \, v_j \, B_k \]

Um jede Komponente des Kreuzprodukts explizit auszurechnen, musst Du jede der drei Komponente explizit ausschreiben. Dazu schreibst Du die Summe aus. Zuerst die erste Komponente \( i ~=~ 1 \):3 \[ \left( \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} \right)_1 ~=~ \varepsilon_{1jk} \, v_j \, B_k \]

Du musst nicht alle möglichen 9 Summanden ausschreiben. Nach der Definition des Levi-Civita-Tensors fallen alle Summanden weg, die gleiche Indizes beinhalten, wie z.B. der Summan, der mit\( \varepsilon_{112} = 0 \) multipliziert ist. Es bleiben nur zwei Summanden mit drei unterschiedlichen Indizes übrig:4 \[ \left( \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} \right)_1 ~=~ \varepsilon_{123} \, v_2 \, B_3 ~+~ \varepsilon_{132} \, v_3 \, B_2 \]

Dabei ist nach der Definition des Levi-Civita-Tensors \( \varepsilon_{123} ~=~ 1 \) eine gerade und \( \varepsilon_{132} ~=~ -1 \) eine ungerade Permutation der Indizes:5 \[ \left( \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} \right)_1 ~=~ v_2 \, B_3 ~-~ v_3 \, B_2 \]

Damit hast du die erste Komponente des Kreuzprodukts bestimmt. Analog berechnest Du die 2. Komponente:6 \[ \left( \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} \right)_2 ~=~ v_3 \, B_1 ~-~ v_1 \, B_3 \]

Und die 3. Komponente:7 \[ \left( \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} \right)_3 ~=~ v_1 \, B_2 ~-~ v_2 \, B_1 \]

Und schon hast Du alle drei Komponenten des Kreuzprodukts, die nur noch zu einem Vektor zusammengefasst werden:8 \[ \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} ~=~ \left(\begin{array}{c}v_2 \, B_3 ~-~ v_3 \, B_2 \\ v_3 \, B_1 ~-~ v_1 \, B_3 \\ v_1 \, B_2 ~-~ v_2 \, B_1 \end{array}\right) \]

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