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Aufgabe mit Lösung Kreuzprodukt mittels Levi-Civita-Tensor

Berechne allgemein \( \boldsymbol{v}\times{}\boldsymbol{B} \) mittels Levi-Civita-Tensor. Dabei sind \( \boldsymbol{v} \) und \( \boldsymbol{B} \) dreidimensionale Vektoren.

Lösungstipps

Nutze die Definition des Levi-Civita-Tensors und schaue, welche Summanden wegfallen. Es fallen bei jeder Komponente alle außer zwei Summanden weg.

Lösung

Lösung anzeigen

Definition des Kreuzproduktes mittels Levi-Civita-Tensor ist (mit Einstein-Summenkonvention) lautet:1\[ \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} ~=~ \varepsilon_{ijk} \, \boldsymbol{\hat{e}}_j \, v_j \, B_k \]

Betrachte einzelne Komponenten des Kreuzproduktes. Halte es allgemein und schreibte die \( i \)-te Komponente allgemein hin:2 \[ \left( \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} \right)_i ~=~ \varepsilon_{ijk} \, v_j \, B_k \]

Um jede Komponente des Kreuzprodukts explizit auszurechnen, musst Du jede der drei Komponente explizit ausschreiben. Dazu schreibst Du die Summe aus. Zuerst die erste Komponente \( i ~=~ 1 \):3 \[ \left( \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} \right)_1 ~=~ \varepsilon_{1jk} \, v_j \, B_k \]

Du musst nicht die ganze Summe ausschreiben. Nach der Definition des Levi-Civita-Tensors fallen alle Summanden weg, die gleiche Indizes beinhalten. Es bleiben nur folgende Summanden übrig:4 \[ \left( \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} \right)_1 ~=~ \varepsilon_{123} \, v_2 \, B_3 ~+~ \varepsilon_{132} \, v_3 \, B_2 \]

Dabei ist \( \varepsilon_{123} ~=~ 1 \) eine gerade und \( \varepsilon_{132} ~=~ -1 \) eine ungerade Permutation:5 \[ \left( \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} \right)_1 ~=~ v_2 \, B_3 ~-~ v_3 \, B_2 \]

Analog berechnest Du die 2. und 3. Komponente des Kreuzprodukts und schon hast Du alle drei Komponenten des Kreuzprodukts:6 \[ \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} ~=~ \left(\begin{array}{c}v_2 \, B_3 ~-~ v_3 \, B_2 \\ v_3 \, B_1 ~-~ v_1 \, B_3 \\ v_1 \, B_2 ~-~ v_1 \, B_2 \end{array}\right) \]

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