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Aufgabe mit Lösung Größe vom Heißluftballon zum Aufsteigen

Ein Heißluftballon besitzt ein Gesamtgewicht von \( m = 400 \, \text{kg}\). Das Innere des Ballons ist mit Luft gefüllt. Die Luft hat die Temperatur \(T = 30^{\circ}\text{C}\).

Welchen Radius \(r\) muss ein Heißluftballon besitzen, damit dieser bei \(10^{\circ} \text{C}\) aufsteigen kann?

Lösungstipps

Benutze Saurons Auge, um die Formeln für Auftriebskraft und Fallkraft zu finden, falls du sie nicht parat hast. Die Luftdichte \(\rho_{\text T}\) für die entsprechende Temperatur \(T\) (unter Normaldruck) ist in der folgenden Tabelle gegeben.

Temperaturabhängigkeit der Luftdichte.
Temperatur \(T\) in \(^{\circ}\text{C}\)Dichte \( \rho_{\text T} \) in \(\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\)
301.1644
201.2041
101.2466
51.2690
01.2920

Lösung

Lösung anzeigen

Damit der Heißluftballon aufsteigen kann, muss auf ihn einwirkende Fallkraft \(m\,g\) durch die Auftriebskraft \(\rho \, V \, g\) kompensiert werden. Zur Gewichtskraft muss noch neben der Masse \(m\) des Heißluftballons, auch noch die Masse der Luft \(m_{\text L}\) berücksichtigt werden, die sich im Ballon befindet. Es muss also gelten:1\[ m \, g ~+~ m_{\text L} \, g ~=~ \rho_{10} \, V \, g \]

Die Fallbeschleunigung \(g\) kürzt sich in 1 weg:2\[ m ~+~ m_{\text L} ~=~ \rho_{10}\, V \]

Dabei ist \( \rho_{10} \) die Dichte der Luft bei \(10^{\circ} \, \text{C}\), die der Tabelle aus dem Lösungshinweis entnommen wurde. Und \( V \) ist das Volumen der vom Heißluftballon verdrängten Luft, also genau das Volumen des Ballons. Das Volumen der Gondel kann hier vernachlässigt werden.

Da die Masse \(m_{\text L}\) der Luft im Inneren des Ballons nicht bekannt ist, wird sie mithilfe der bekannten Dichte \(\rho_{30}\) (bei 30 Grad Celsius) ausgedrückt: \( m_{\text L} ~=~ \rho_{30}\, V \): 3\[ m ~+~ \rho_{30} \, V ~=~ \rho_{10} \, V \]

Das Volumen \(V\) muss mit dem gesuchten Radius \(r\) des Heißluftballons ausgedrückt werden. Es wird angenommen, dass der Ballon näherungsweise kugelförmig ist. Dann beträgt das Volumen: \( V ~=~ \frac{4}{3} \, \pi \, r^3 \). Einsetzen in 3:4\[ m ~+~ \rho_{30} \, \frac{4}{3} \, \pi \, r^3 ~=~ \rho_{10} \, \frac{4}{3} \, \pi \, r^3 \]

Forme Gleichung 4 nach dem Radius um:5\[ r ~=~ \sqrt[3]{ \frac{3m}{4\pi (\rho_{10} - \rho_{30} )} } \]

Die Dichte der Luft bei 10 Grad beträgt laut der Tabelle im Lösungshinweis \( \rho_{10} ~=~ 1.2466 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \). Und bei 30 Grad: \( \rho_{30} ~=~ 1.644 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \). Einsetzen der gegebenen Werte in 5 ergibt den Radius:6\[ r ~=~ \sqrt[3]{ \frac{ 3 ~*~ 400 \, \text{kg} }{4\pi \left( 1.2466 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} ~-~ 1.1644 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \right) }} ~=~ 10.51 \, \text{m} \]

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