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Aufgabe mit Lösung Relativistische Masse nach dem Stoß

Zwei Teilchen - jeweils mit der Masse \( m \) - kollidieren frontal mit 3/5 der Lichtgeschwindigkeit (\( v ~=~ \frac{3}{5}c \)) und verschmelzen zu einem neuen Teilchen.
Welche resultierende Masse \( m_{\text{res}} \) hat das neue Teilchen?

Lösungstipps

Nutze relativistische Formeln für Impuls und Energie, die im Viererimpuls als Komponenten stehen und betrachte die Impuls- und Energieerhaltung (heißt: betrachte Energie und Impuls nach dem Stoß).

Lösung

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Impulserhaltung für den Stoßprozess

Betrachte zuerst den räumlichen Anteil des Viererimpulses, der durch den relativistischen Impuls gegeben ist:

Relativistischer Impuls
Er hat drei räumliche Komponenten. Geschrieben in Vektorschreibweise:
\[ \boldsymbol{p} ~=~ \frac{m \, \boldsymbol{v}}{\sqrt{1 ~-~ \frac{\boldsymbol{v}^2}{c^2}}} \]

Nach der Impulserhaltung 1 \[ \boldsymbol{p}_{\text{vor},1} ~+~ \boldsymbol{p}_{\text{vor},2} ~=~ \boldsymbol{p}_{\text{nach},1} ~+~ \boldsymbol{p}_{\text{nach},2} ~=~ \boldsymbol{p}_{res} \] hat das neue Teilchen den Impuls: 2 \[ \boldsymbol{p}_{\text{vor},1} ~+~ \boldsymbol{p}_{\text{vor},2} ~=~ \boldsymbol{p}_{\text{nach},1} ~-~ \boldsymbol{p}_{\text{nach},1} ~=~ 0 ~=~ \boldsymbol{p}_{res} \] wobei hier verwendet wurde, dass die beiden Teilchen die gleiche Masse \( m \) und gleiche Geschwindigkeit \( \boldsymbol{v} \) besitzen, weshalb auch ihr Impuls-Betrag gleich ist: \( |\boldsymbol{p}_{\text{vor},1}| ~=~ |\boldsymbol{p}_{\text{vor},2}| \). Außerdem ist die Richtung ihrer Bewegung bezüglich des jeweils anderen Teilchens genau entgegengesetzt: \( \boldsymbol{p}_{\text{vor},2} ~=~ -\boldsymbol{p}_{\text{vor},1} \).

Halte also fest: die räumliche Komponente des Viererimpulses 3 \[ \left(\begin{array}{c} E/c \\ \boldsymbol{p} \end{array}\right) ~=~ \left(\begin{array}{c} E/c \\ 0 \end{array}\right) \] ist Null.

Energieerhaltung für den Stoßprozess

Jetzt nur noch den zeitlichen Anteil \( E/c \) des Viererimpulses betrachten, mit der relativistischen Energie:

Relativistische Energie
Sie entspricht der Gesamtenergie des relativistischen Teilchens.
4 \[ E ~=~ \frac{m \, c^2}{\sqrt{1 ~-~ \frac{\boldsymbol{v}^2}{c^2}}} \]

Die Gesamtenergie \( E \) eines Teilchens setzt sich - in der speziellen Relativitätstheorie - aus der Ruheenergie \( m \, c^2 \) und der kinetischen Energie \( W_{\text{kin}} ~=~ E - m \, c^2 \). Davon hast Du ingsesamt 2, nämlich \( W_1 \) für das eine Teilchen und \( W_2 \) für das andere Teilchen.

Also ist die Gesamtenergie (die sich aus beiden Teilchen-Gesamtenergien \( W_1 \) und \( W_2 \) zusammensetzt) muss nach dem Stoß erhalten sein und der Energie \( W_{\text{res}} \) des neuen, entstandenen Teilchens entsprechen: 5 \[ W_1 ~+~ W_2 ~=~ W_{\text{res}} \]

Da die Geschwindigkeit des resultierenden neuen Teilchens nach dem Stoß \( \boldsymbol{v}_{\text{res}} ~=~ 0 \) ist (weil: Impulse \( \boldsymbol{p}_1 \) und \( \boldsymbol{p}_2 \) der beiden Teilchen sich gegenseitig wegheben und \( m_{\text{res}} ~\neq~ 0 \).)

Die jeweiligen Energien \( W_1 \) und \( W_2 \) der Teilchen betragen - mit \( |\boldsymbol{v}| ~=~ \frac{3}{5} c \) - zusammengerechnet: 6 \[ W_1 ~=~ W_2 ~=~ \frac{m \, c^2}{\sqrt{1 ~-~ \frac{3^2}{5^2}}} ~=~ \frac{5}{4}m \, c^2 \]

Resultierende Energie des neuen Teilchens ist \( W_{\text{res}} ~=~ m_{\text{res}} \, c^2 \). Sie beinhaltet nur die Ruheenergie, weil sich das resultierende Teilchen nicht bewegt und der kinetische Anteil der Energie (\( W_{\text{res}} ~=~ W_{\text{kin}} ~+~ m_{\text{res}} \, c^2 \)) somit wegfällt: \( W_{\text{kin}} ~=~ 0 \).

Der Energieerhaltungssatz lautet also konkret: 7 \[ \frac{5}{4}m \, c^2 ~+~ \frac{5}{4}m \, c^2 ~=~ m_{\text{res}} \, c^2 \]

Teile die Gleichung durch \( c^2 \) und rechne \( \frac{5}{4}m ~+~ \frac{5}{4}m \) zusammen, dann bekommst Du die resultierende Masse des neuen Teilchens nach dem Stoß: 8 \[ m_{\text{res}} ~=~ \frac{5}{2}m \]

Bedenke! Die Summe der Teilchenmassen \( m ~+~ m ~=~ 2m \) entspricht nicht der neuen Masse \( m_{\text{res}} ~=~ 2.5m \). Die resultierende Masse ist nämlich um \( 0.5m \) größer als die eigentliche Summe der Massen!

Was musst Du also aus dieser Aufgabe mitnehmen?
Die Masse bleibt bei derartigen relativistischen Stößen nicht erhalten! Offensichtlich wandelt sich ein Teil der kinetischen Energie in Ruheenergie um, sodass dadurch die resultierende Masse nach dem Stoß größer wird als vor dem Stoß.

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