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Aufgabe mit Lösung Maschenregel und Knotenregel - Schaltung mit 4 Widerständen

Eine elektrische Schaltung für die Kirchhoff-Regeln.

Eine Schaltung (siehe Illustration) besteht aus vier Widerständen \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) und \(R_4\) sowie zwei Spannungsquellen \(U_{\text a}\) und \(U_{\text b}\).

  1. Stelle mithilfe von Kirchhoff-Regeln ein Gleichungssystem für die Ströme auf.
  2. Löse das aufgestellte Gleichungssystem (etwas kompliziert!).
Lösungstipps

Identifiziere zuerst in der Schaltung alle Knoten und zeichne in die Knoten hinein- und herausfließenden Ströme. Zeichne auch Maschen ein (es sind drei Maschen notwendig).

Zu (b): Benutze z.B. das Gauß-Verfahren, um das aufgestellte Gleichungssystem zu lösen.

Lösung

Lösung zu (a) anzeigen
Maschen und Knoten eines Schaltkreises.

Bevor die Maschen- und Knotenregel angewendet werden können, wird zuerst die Schaltung beschriftet. Dazu werden die Maschen ausgewählt. In diesem Fall eignen sich drei Maschen (wie in der Illustration eingezeichnet). Die Umlaufrichtung für die Maschen wird zum Beispiel im Uhrzeigersinn festgelegt. Beachte jedoch, dass die Maschenrichtung dann für alle Maschen eingehalten werden muss!

Knotenpunkt #1 (oben links):
In diesen Knotenpunkt zeigt der Strom \(I_1\) hinein (Vorzeichen ist somit positiv) aber \(I_2\) und \(I_3\) zeigen heraus (Vorzeichen ist negativ). Nach der Knotenregel kann daraus die folgende Gleichung gewonnen werden:1\[ I_1 - I_2 - I_3 = 0 \]

Knotenpunkt #2 (oben rechts):
In diesen Knotenpunkt zeigt der Strom \(I_3\) hinein (Vorzeichen ist somit positiv). Ein Teil dieses Stroms spaltet sich auf in \(I_4\) und ein Teil in \(I_5\). Beide zeigen aus dem Knotenpunkt heraus (Vorzeichen ist negativ). Also:2\[ I_3 - I_4 - I_5 = 0 \]

Masche #1 (rechts):
Die Maschenrichtung wurde im Uhrzeigersinn festgelegt. Das heißt die Spannungen in der Masche werden in die Uhrzeigersinn-Richtung positiv gezählt:3\[ U_1 + U_2 - U_{\text a} = 0 ~\leftrightarrow \] \[ R_1 \, I_1 + R_2 \, I_2 = U_{\text a} \]hierbei ist \(U_1\) die Spannung, die am Widerstand \(R_1\) und \(U_2\) die Spannung, die am Widerstand \(R_2\) abfällt. Außerdem wurde das Ohm-Gesetz benutzt, um die Spannung mit den gesuchten Strömen auszudrücken.

Masche #2 (mitte):
An dieser Masche kann abgelesen werden:4\[ U_{\text b} - U_2 + U_3 = 0 ~\leftrightarrow \] \[ R_2 \, I_2 - R_3 \, I_3 = U_{\text b} \]hierbei ist \(U_2\) die Spannung, die am Widerstand \(R_2\) und \(U_3\) die Spannung, die am Widerstand \(R_3\) abfällt.

Masche #3 (rechts):
An dieser Masche kann abgelesen werden:5\[ U_4 - U_{\text b} = 0 ~\leftrightarrow \] \[ R_4 \, I_4 = U_{\text b} \]hierbei ist \(U_4\) die Spannung, die am Widerstand \(R_4\) abfällt.

Im Prinzip ist das Gleichungssystem fertig. Das Gleichungssystem 1 bis 5 können kompakt in der Matrixschreibweise zusammengefasst werden:

6\[ \begin{pmatrix}1 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ R_1 & R_2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & R_2 & -R_3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & R_4 & 0 \end{pmatrix} \, \left(\begin{array}{c}I_1 \\ I_2 \\ I_3 \\ I_4 \\ I_5\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ U_{\text a} \\ U_{\text b} \\ U_{\text b} \end{array}\right) \]
Lösung zu (b) anzeigen

Das Lösen des aufgestellten Gleichungssystems 6 kann mit dem Gauß-Verfahren geschehen. Da es zu langwierig ist, wird einfach das Gleichungssystem mit dem Computer gelöst. Das Ergebnis ist:7\[ I_1 = \frac{ R_2 \, U_{\text a} + R_3 \, U_{\text a} - R_2 \, U_{\text b} }{ R_1 \, R_2 + R_1 \, R_3 + R_2 \, R_3 } \] \[ I_2 = \frac{ R_3 \, U_{\text a} + R_1 \, U_{\text b} }{ R_1 \, R_2 + R_1 \, R_3 + R_2 \, R_3 } \] \[ I_3 = \frac{ R_2 \, U_{\text a} - R_1 \, U_{\text b} - R_2 \, U_{\text b} }{ R_1 \, R_2 + R_1 \, R_3 + R_2 \, R_3 } \] \[ I_4 = \frac{ U_{\text b} }{ R_4 } \] \[ I_5 = \frac{ R_2 \, R_4 \, U_{\text a} - R_1 \, R_2 \, U_{\text b} - R_1 \, R_3 \, U_{\text b} - R_2 \, R_3 \, U_{\text b} - R_1 \, R_4 \, U_{\text b} - R_2 \, R_4 \, U_{\text b} }{ (R_1 \, R_2 + R_1 \, R_3 + R_2 \, R_3) \, R_4 } \]

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