Direkt zum Inhalt
  1. Startseite
  2. Quests
  3. #393

Aufgabe mit Lösung Topologischer Raum: zusammenhängend + nicht wegzusammenhängend

Beweise, dass der folgende topologische Raum \( (X, \mathcal{O}) \) zwar zusammenhängendend, aber nicht wegzusammenhängend ist:\[ X ~=~ \{ ~ \left(x, \sin \, \frac{1}{x} \right): ~ x ~\in~ ]0, \, 1[ ~ \} ~\cup~ (0,0) ~\subseteq~ \mathbb{R}^2 \]mit der Topologie:\[ \mathcal{O} ~=~ \{ ~ X ~\cap~ M: M ~\subseteq~ \mathbb{R}^2 \text{offen} ~ \} \]

Lösungstipps

Um zu zeigen, dass X zusammenhängend ist, kannst Du beispielsweise erstmal zeigen, dass X nur durch die beiden Mengen in der Definition als disjunkt geschrieben werden kann und dann musst Du nur noch zeigen, dass diese zwei Mengen beide offen sind. Damit wäre die folgende Definition für Nicht-Zusammenhang erfüllt:

\( X \) nicht zusammenhängend \( \Leftrightarrow \) es existieren zwei offene Mengen \( A \) und \( B ~\neq~ \emptyset \) mit \( X ~=~ A ~\cup~ B \) und \( A ~\cap~ B ~=~ \emptyset \).

Für Wegzusammenhang betrachte einen beliebigen Weg:\[ \gamma: [a,~b] ~\rightarrow~ X, ~ \gamma(a) = (0,0) \]

Lösung

Lösung anzeigen

Definiere zuerst für eine kürzere Schreibweise: \[ A ~:=~ \{ ~ \left(x, \sin \, \frac{1}{x} \right): ~ x ~\in~ ]0, \, 1[ ~ \} \] \[ B ~:=~ (0,0) \]

Um zu zeigen, dass \( X \) nicht wegzusammenhängend ist, wähle dazu einen beliebigen stetigen Weg \( \gamma \) von der Form: \[ \gamma: [a, b] ~\rightarrow~ X \] mit \( \gamma(a) ~=~ (\gamma_1(a), \gamma_2(a)) ~=~ (0,0) \) und \( \gamma(b) ~\in~ A \).

Betrachte das Supremum: \[ s ~:=~ \text{sup} \{~ t ~\in~ [a,b]: \gamma(t) ~=~ (0,0) ~\} \]

Da \( \gamma \) nach Voraussetzung stetig ist, ist auch \( \gamma(s) ~=~ (0,0) \).

Sei nun \( s \lt b \), dann wäre aber der Weg \( \gamma \) nicht stetig, denn für ein \( \kappa \lt 0 \) mit \( s ~+~ \kappa ~\leq~ b \) ist \[ \gamma(s ~+~ \kappa) ~\neq~ (0,0) \] weshalb die erste (aber auch die zweite) Koordinate von \( \gamma(s ~+~ \kappa) ~=~ \gamma ( \gamma_1(s~+~\kappa), \, \gamma_2 (s~+~\kappa) ) \) größer als Null: \[ \gamma_1(s~+~\kappa) ~\gt~ 0 \]

Wähle ein \( x \) folgendermaßen: \[ x ~:=~ \frac{1}{2\pi \, n ~+~ \pi /2} \] mit \( n \in \mathbb{N} \), sodass gilt: \[ \gamma_1(s~+~\kappa) ~\gt~ x \]

Da \( \gamma \) stetig ist, kannst Du nach dem Zwischenwertsatz ein \( r ~\in~ ]s, \, s~+~\kappa[ \) finden, sodass: \[ \gamma_1(r) ~=~ x \] ergibt. Dann ist \( \gamma_2(r) ~=~ \sin \frac{1}{x} ~=~ \sin \frac{1}{\gamma_1(r)} ~=~ \sin(2\pi \, n ~+~ \frac{\pi}{2}) ~=~ 1 \), für alle \( n \).

Da \( \gamma_2(s) ~=~ 0 \) ist, folgt: \[ || \gamma(r) ~-~ \gamma(s) || ~=~ || (x,1) ~-~ 0 || ~=~ \sqrt{x^2 ~+~ 1} ~\geq~ 1 \] also wäre \( \gamma \) im Punkt \( s \) - wegen dem Epsilon-Delta-Kriterium für Stetigkeit - nicht stetig, z.B. für \( \epsilon ~=~ \frac{1}{2} \).

Damit muss \( s ~=~ b \) sein, was letzendlich bedeutet, dass sowohl der Anfang des Wegs \( \gamma(a) ~=~ 0 \) als auch das Ende des Wegs \( \gamma(b) ~=~ \gamma(s) ~=~ 0 \), beide auf \( (0,0) \) abbilden.

\( X \) besitzt also nicht eine, sondern zwei Wegzusammenhangskomponenten (\( A \) und \( B \)). Damit aber \( X \) wegzusammenhängend ist, darf es genau eine Wegzusammenhangskomponente besitzen! Deshalb kann \( X \) nicht wegzusammenhängend sein.

Details zum Inhalt
  • Die Quest wurde hinzugefügt von FufaeV am .
  • Die Quest wurde aktualisiert von FufaeV am .

Feedback geben

Hey! Ich bin Alexander FufaeV, der Physiker und Autor hier. Es ist mir wichtig, dass du stets sehr zufrieden bist, wenn du hierher kommst, um deine Fragen und Probleme zu klären. Da ich aber keine Glaskugel besitze, bin ich auf dein Feedback angewiesen. So kann ich Fehler beseitigen und diesen Inhalt verbessern, damit auch andere Besucher von deinem Feedback profitieren können.

Wie zufrieden bist Du?