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Level 4
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.

Aufgabe mit Lösung Topologischer Raum: zusammenhängend + nicht wegzusammenhängend

Beweise, dass der folgende topologische Raum \( (X, \mathcal{O}) \) zwar zusammenhängendend, aber nicht wegzusammenhängend ist:\[ X ~=~ \{ ~ \left(x, \sin \, \frac{1}{x} \right): ~ x ~\in~ ]0, \, 1[ ~ \} ~\cup~ (0,0) ~\subseteq~ \mathbb{R}^2 \]mit der Topologie:\[ \mathcal{O} ~=~ \{ ~ X ~\cap~ M: M ~\subseteq~ \mathbb{R}^2 \text{offen} ~ \} \]

Lösungstipps

Um zu zeigen, dass X zusammenhängend ist, kannst Du beispielsweise erstmal zeigen, dass X nur durch die beiden Mengen in der Definition als disjunkt geschrieben werden kann und dann musst Du nur noch zeigen, dass diese zwei Mengen beide offen sind. Damit wäre die folgende Definition für Nicht-Zusammenhang erfüllt:

\( X \) nicht zusammenhängend \( \Leftrightarrow \) es existieren zwei offene Mengen \( A \) und \( B ~\neq~ \emptyset \) mit \( X ~=~ A ~\cup~ B \) und \( A ~\cap~ B ~=~ \emptyset \).

Für Wegzusammenhang betrachte einen beliebigen Weg:\[ \gamma: [a,~b] ~\rightarrow~ X, ~ \gamma(a) = (0,0) \]

Lösungen

Lösung

Definiere zuerst für eine kürzere Schreibweise: \[ A ~:=~ \{ ~ \left(x, \sin \, \frac{1}{x} \right): ~ x ~\in~ ]0, \, 1[ ~ \} \] \[ B ~:=~ (0,0) \]

Um zu zeigen, dass \( X \) nicht wegzusammenhängend ist, wähle dazu einen beliebigen stetigen Weg \( \gamma \) von der Form: \[ \gamma: [a, b] ~\rightarrow~ X \] mit \( \gamma(a) ~=~ (\gamma_1(a), \gamma_2(a)) ~=~ (0,0) \) und \( \gamma(b) ~\in~ A \).

Betrachte das Supremum: \[ s ~:=~ \text{sup} \{~ t ~\in~ [a,b]: \gamma(t) ~=~ (0,0) ~\} \]

Da \( \gamma \) nach Voraussetzung stetig ist, ist auch \( \gamma(s) ~=~ (0,0) \).

Sei nun \( s \lt b \), dann wäre aber der Weg \( \gamma \) nicht stetig, denn für ein \( \kappa \lt 0 \) mit \( s ~+~ \kappa ~\leq~ b \) ist \[ \gamma(s ~+~ \kappa) ~\neq~ (0,0) \] weshalb die erste (aber auch die zweite) Koordinate von \( \gamma(s ~+~ \kappa) ~=~ \gamma ( \gamma_1(s~+~\kappa), \, \gamma_2 (s~+~\kappa) ) \) größer als Null: \[ \gamma_1(s~+~\kappa) ~\gt~ 0 \]

Wähle ein \( x \) folgendermaßen: \[ x ~:=~ \frac{1}{2\pi \, n ~+~ \pi /2} \] mit \( n \in \mathbb{N} \), sodass gilt: \[ \gamma_1(s~+~\kappa) ~\gt~ x \]

Da \( \gamma \) stetig ist, kannst Du nach dem Zwischenwertsatz ein \( r ~\in~ ]s, \, s~+~\kappa[ \) finden, sodass: \[ \gamma_1(r) ~=~ x \] ergibt. Dann ist \( \gamma_2(r) ~=~ \sin \frac{1}{x} ~=~ \sin \frac{1}{\gamma_1(r)} ~=~ \sin(2\pi \, n ~+~ \frac{\pi}{2}) ~=~ 1 \), für alle \( n \).

Da \( \gamma_2(s) ~=~ 0 \) ist, folgt: \[ || \gamma(r) ~-~ \gamma(s) || ~=~ || (x,1) ~-~ 0 || ~=~ \sqrt{x^2 ~+~ 1} ~\geq~ 1 \] also wäre \( \gamma \) im Punkt \( s \) - wegen dem Epsilon-Delta-Kriterium für Stetigkeit - nicht stetig, z.B. für \( \epsilon ~=~ \frac{1}{2} \).

Damit muss \( s ~=~ b \) sein, was letzendlich bedeutet, dass sowohl der Anfang des Wegs \( \gamma(a) ~=~ 0 \) als auch das Ende des Wegs \( \gamma(b) ~=~ \gamma(s) ~=~ 0 \), beide auf \( (0,0) \) abbilden.

\( X \) besitzt also nicht eine, sondern zwei Wegzusammenhangskomponenten (\( A \) und \( B \)). Damit aber \( X \) wegzusammenhängend ist, darf es genau eine Wegzusammenhangskomponente besitzen! Deshalb kann \( X \) nicht wegzusammenhängend sein.

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