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Aufgabe mit Lösung Laplace-Entwicklungssatz: 2x2 Determinante

Betrachte die Determinante folgender 2x2-Matrix: \[ \begin{vmatrix}5 & 3 \\ -4 & 6 \end{vmatrix} \]

Lösungstipps

Schau Dir einfach das Video zur Laplace-Entwicklung an, dann weißt Du, wie es geht.

Lösung

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Als erstes suchst Du Dir eine beliebige Spalte oder Zeile aus. Nehmen wir mal an, Du hast Dich für die erste Zeile der Matrix entschieden.

Bevor Du mit dem Rechnen anfängst, musst Du jedem Eintrag deiner ausgewählten Zeile ein bestimmtes Vorzeichen zuweisen. Beim ersten Eintrag der Matrix (oben links) steht ein Plus als Vorzeichen. Der nächste Eintrag, sowohl in der Zeile als auch in der Spalte bekommt ein entgegengesetztes Vorzeichen - Minus. Der nächste Eintrag in der Spalte und Zeile bekommen wieder das Vorzeichen Plus. So geht es abwechselnd immer weiter, je nach dem wie groß deine Matrix ist.

In deiner ausgewählten Zeile, fängst Du mit dem ersten Eintrag an: +5. Gedanklich streichst Du die Zeile und Spalte durch, in der sich 5 befindet. Dadurch erhälst Du eine kleinere Untermatrix, die aus allen übrigen, nicht durchgestrichenen Einträgen besteht.

In diesem 2x2-Beispiel ist es eine 1x1-Matrix, eine reine Zahl: 6. Nun multiplizierst Du +5 (mit dem zugewiesenen Vorzeichen Plus) mit der Determinante der Untermatrix: \( +5 * det(6) \). \[ +5 * 6 ~=~ 30 \]

Jetzt gehst Du zum nächsten Eintrag Deiner ausgewählten Zeile über und streichst auch hier die Zeile und Spalte durch, in der sich +3 befindet. Achtung: hier bekommt +3 ein Minus-Vorzeichen, da der Eintrag +2 ein Vorzeichen Plus bekommen hat, also hast Du: -(+3)=-3. Insgesamt: \[ -3 * (-4) ~=~ 12 \]

Jetzt nur noch beide Berechnungen zusammenrechnen und Du bekommst die Determinante der 2x2-Ausgangsmatrix: \[ 30 + 12 ~=~ 42 \]

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