Direkt zum Inhalt
  1. Startseite
  2. Quests
  3. #399

Aufgabe mit Lösung Chromatische Aberration: Brechungsindex / Brennweite Zusammenhang

Optische Materialien (wie z.B. Linsen) weisen eine chromatische Aberration auf (d.h. unterschiedliche Wellenlängen werden stark gebrochen). In dieser Aufgabe musst Du herausfinden, wie sich die Brennweite ändert, wenn Du den Brechungsindex ein wenig änderst.

  1. Weise nach, dass eine kleine Änderung des Brechungsindex \( n \) bei einer dünnen Linse (z.B. bei Änderung der Lichtwellenlänge mit der Du die Linse bestrahlst), zu einer kleinen Änderung der Brennweite \( \Delta f \) führt; indem Du den folgenden Zusammenhang herleitest:\[ \frac{\Delta f}{f} ~=~ \frac{\Delta n}{n-1} \]
  2. Wenn Du nun eine bestimmte Linse mit der Wellenlänge \( \lambda = 250 \, \text{nm} \) bestrahlst, misst Du eine Brennweite von f = 1.5 m bei einem Brechungsindex von n = 1.51. Anschließend setzt Du eine Wellenlänge \( \lambda' = 300 \, \text{nm} \) ein, sodass der Brechungsindex der Linse zu n' = 1.47 wird. Wie groß ist die Verschiebung der Brennweite \( \Delta f \)?

Die Linse befindet sich außerdem in der Luft. (Brechungsindex: \(n_{\text m} = 1\)).

Lösungstipps

Benutze den Zusammenhang zwischen Brechkraft \(D\), Brechungsindex \(n\) und Krümmungsradien der Linse \(R_1\) und \(R_2\) (Linsengleichung):\[ \frac{1}{f} ~=~ (n - n_{\text m}) \, \left( \frac{1}{R_1} ~-~ \frac{1}{R_2} \right) \]\( n_{\text m} \) ist der Brechungsindex in einem Medium. Betrachte dann eine kleine Änderung des Brechungsindex \(\Delta n \), in dem Du beispielsweise eine andere Linse einsetzt. Benutze die Annahme, dass beide Brechungsindizes der Linsen ungefähr gleich sind.

Lösung

Lösung zu (a)

Nehmen wir mal an, Du bestrahlst eine dünne Linse mit rotem Licht, dann misst Du den Brechungsindex \(n\).

Nun veränderst Du die Wellenlänge des Lichts so, dass dadurch der Brechungsindex der Linse um einen sehr kleinen Betrag \(\Delta n\) beispielsweise größer wird. Damit wird der Brechungsindex zu \(n'\):\[ n' ~=~ n ~+~ \Delta n \]

Benutze nun die im Hinweis zur Aufgabe erwähnte Linsengleichung:\[ \frac{1}{f} ~=~ (n - n_{\text m}) \, \left( \frac{1}{R_1} ~-~ \frac{1}{R_2} \right) \]

Hierbei gilt nach der Aufgabenstellung \( n_{\text m} = 1 \). Da die Lichtwellenlänge nicht die Form der Linse verändert, bleiben die Krümmungsradien \( R_1 \) und \( R_2 \) gleich, egal mit welcher Wellenlänge Du die Linse bestrahlst.

Du hast also zwei Linsensgleichungen für zwei Fälle, jeweils für die Bestrahlung mit einer anderen Lichtwellenlänge:\[ \frac{1}{f} ~=~ (n ~-~ 1)\left( \frac{1}{R_1} ~-~ \frac{1}{R_2} \right) \]Und die zweite Gleichung ist:\[ \frac{1}{f'} ~=~ (n' ~-~ 1)\left( \frac{1}{R_1} ~-~ \frac{1}{R_2} \right) \]

Wie Du an den Gleichungen siehst: Je größer der Brechungsindex \( n \) wird, desto kleiner wird die Brennweite \( f \). Subtrahiere nun beide Gleichungen voneinander:\[ \frac{1}{f} ~-~ \frac{1}{f'} ~=~ (n ~-~ 1)\left( \frac{1}{R_1} ~-~ \frac{1}{R_2} \right) ~-~ (n' ~-~ 1)\left( \frac{1}{R_1} ~-~ \frac{1}{R_2} \right) \]

Bringe \( \frac{1}{f} ~-~ \frac{1}{f'} \) auf gleichen Nenner und klammere den Krümmungsradien-Term heraus:\[ \frac{f' ~-~ f}{f \, f'} ~=~ \left( \frac{1}{R_1} ~-~ \frac{1}{R_2} \right)(n ~-~ 1 ~-~ n' ~+~ 1) \]

Jetzt siehst Du die kleine Änderung in der Brennweite, die im Zähler auf der linken Seite steht \( f' ~-~ f \). Da \( f' \) kleiner ist als \( f \), ist ihre Differenz \( -\Delta f \) (Du könntest die Differenz aber genauso \( -\Delta f' \) nennen). Und \( -1 ~+~ 1 \) kürzt sich auch weg:\[ \frac{-\Delta f}{f \, f'} ~=~ \left( \frac{1}{R_1} ~-~ \frac{1}{R_2} \right)(n ~-~ n') \]

Wegene \( n' ~=~ n ~+~ \Delta n \) gilt \( \Delta n = n' ~-~ n \). Einsetzen:\[ \frac{-\Delta f}{f \, f'} ~=~ \left( \frac{1}{R_1} ~-~ \frac{1}{R_2} \right) \, (-\Delta n) \]

Multipliziere die Gleichung mit \( -f' \):\[ \frac{\Delta f}{f} ~=~ \left( \frac{1}{R_1} ~-~ \frac{1}{R_2} \right) \, \Delta n \, f' \]

Setze Linsengleichung für \( \frac{1}{f'} \) in \( f' \) ein (einfach Kehrwert nehmen), dabei wird sich der Krümmungsradien-Term wegkürzen:\[ \frac{\Delta f}{f} ~=~ \frac{\Delta n}{n' ~-~ 1} \]

Wir haben angenommen, dass sich der Brechungsindex \( n \) kaum ändert, weshalb Du \( n' ~\approx~ n \) behaupten darfst. Damit folgt der gesuchte Zusammenhang:\[ \frac{\Delta f}{f} ~=~ \frac{\Delta n}{n ~-~ 1} \]

Lösung zu (b)

Benutze den in der Teilaufgabe (a) hergeleiteten Zusammenhang: \[ \frac{\Delta f}{f} ~=~ \frac{\Delta n}{n ~-~ 1} \]

Forme die Gleichung nach \( \Delta f \) um, welches ja die Verschiebung der Brennweite darstellt nach der Du suchst: \[ \Delta f ~=~ \frac{\Delta n}{n ~-~ 1} \, f \]

Setze nur noch gegebene Werte ein; wobei \( \Delta n ~=~ n' ~-~ n \) ist: \[ \Delta f ~=~ \frac{1.47 ~-~ 1.51}{1.51 ~-~ 1} \, 1.5 \, \text{m} ~=~ -0.1176 \, \text{m} ~=~ -117.6 \, \text{mm} \]

Das Einsetzen größerer Lichtwellenlänge \( \lambda' \), verschiebt den Brennpunkt um -117.6 mm. Das Minuszeichen kann so interpretiert werden: Die Brennweite hat sich mit dem Einsatz "kurzwelligeren" Lichts, um 117.6 mm verkürzt.

Details zum Inhalt
  • Die Quest wurde hinzugefügt von FufaeV am .
  • Die Quest wurde aktualisiert von FufaeV am .

Feedback geben

Hey! Ich bin Alexander FufaeV, der Physiker und Autor hier. Es ist mir wichtig, dass du stets sehr zufrieden bist, wenn du hierher kommst, um deine Fragen und Probleme zu klären. Da ich aber keine Glaskugel besitze, bin ich auf dein Feedback angewiesen. So kann ich Fehler beseitigen und diesen Inhalt verbessern, damit auch andere Besucher von deinem Feedback profitieren können.

Wie zufrieden bist Du?