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Level 4
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.

Aufgabe mit Lösung Peitschenknall mit Lagrange-Formalismus

Eine Peitsche entlang der \(x\)-Achse mit einem Knick.

Eine inelastische Peitsche hat eine konstante Massendichte \(\rho = m / L \) und eine Länge \(L\). Die Peitsche wird nun einmal so geschwungen, dass an einem Ende der Peitsche ein Knick entsteht.

  1. Bestimme die Lagrange-Funktion.
  2. Stelle die Bewegungsgleichungen auf und vernachlässige dabei den Knick der Peitsche.
  3. Stelle die Bewegungsgleichungen für das Wandern des Knicks der Peitsche.
Lösungstipps

Hinweis zu (a): Lagrange-Funktion lautet: \( \mathcal{L} ~=~ W_{\text{kin}} - W_{\text{pot}} \). Betrachte außerdem die Bewegung der beiden Enden der Peitsche, in dem Du jeweils ihre Höhe \(h_1\) bzw. \(h_2\) über dem Erdboden als Koordinate wählst. Schreibe auch die aktuelle maximale Höhe \(h\) der nach oben geworfenen Peitsche um; mithilfe der konstanten Peitschenlänge \(L\) und den beiden Koordinaten der Peitschenenden.

Hinweis zu (b): Benutze die Euler-Lagrange-Gleichung:\[ \frac{d}{dt}\frac{\mathcal{L}}{d\dot{q_i}} - \frac{\mathcal{L}}{dq_i} = 0 \]

Hinweis zu (c): Ersetze die Differenz \(h_1 - h_2 ~=~ x\). Entkopple die in (b) aufsgestellten Differentialgleichungen, in dem Du eine DFG von der anderen abziehst und dann auch noch addierst. Du bekommst dann wieder zwei neue Differentialgleichungen.

Prüfe Dein Ergebnis indem Du zeigst, dass die Geschwindigkeit \( \dot{x} \) gegen unendlich geht, wenn das Knickstück das Ende der Peitsche erreicht.

Lösungen

Lösung für (a)

Betrachte für die potentielle Energie \( W_{\text{pot}} \) die Massenmittelpunkte, die sich an den folgenden Orten \(x_1\) und \(x_2\) befinden: 1\begin{align} x_1 &~=~ h_1 ~+~ \frac{1}{2} \, \left( h - h_1 \right) \\ &~=~ \frac{h + h_1}{2} \end{align}2\begin{align} x_2 &~=~ h_2 ~+~ \frac{1}{2} \, \left( h - h_2 \right) \\ &~=~ \frac{h + h_2}{2} \end{align}und folgende Massen haben:3\begin{align} m_1 &~=~ (h-h_1) \, \rho\\\\ m_2 &~=~ (h-h_2) \, \rho \end{align}

Damit ist die potentielle Energie:4\begin{align} W_{\text{pot}} &~=~ (h-h_1) \, \rho \, g \, \frac{h + h_1}{2} ~+~ (h-h_2) \, \rho \, g \, \frac{h + h_2}{2} \\\\ &~=~ \frac{\rho \, g}{2} \left[ (h-h_1) \, (h+h_2) ~+~ (h-h_2)\,(h+h_2) \right] \\\\ &~=~ \frac{\rho \, g}{2} \left[ h^2 - {h_1}^2 + h^2 - {h_2}^2\right] \\\\ &~=~ \frac{\rho \, g}{2} \left[ 2h^2 - {h_1}^2 - {h_2}^2\right] \\\\ &~=~ \frac{\rho \, g}{2} \left[ \frac{1}{2}\left( l + h_1 + h_2 \right)^2 - {h_1}^2 - {h_2}^2 \right] \end{align}

Und die kinetische Energie ist:5\begin{align} W_{\text{kin}} &~=~ \frac{1}{2} \, m_1 \, {v_1}^2 ~+~ \frac{1}{2} \, m_2 \, {v_2}^2 \\\\ &~=~ \frac{1}{2} \, (h-h_1) \, \rho \, \dot{h_1}^{2} ~+~ \frac{1}{2} \, (h-h_2) \, \rho \, \dot{h_2}^{2} \end{align}dabei ist \(\dot{h_1}\) (und \(\dot{h_2}\)) für alle Massenpunkte gleich, da sich die Peitsche nicht zusammenzieht o.Ä.

Benutze \( h = \frac{1}{2} (l + h_1 + h_2) \) in 5:6\begin{align} W_{\text{kin}} &~=~ \frac{\rho}{2} \left[ (h - h_1) \, \dot{h_1}^{2} ~+~ (h - h_2) \, \dot{h_2}^{2} \right] \\\\ &~=~ \frac{\rho}{4} \left[ (l + h_2 - h_1) \, \dot{h_1}^{2} ~+~ (l + h_1 - h_2) \, \dot{h_2}^{2} \right] \end{align}

Damit lautet die Lagrange-Funktion:7\begin{align} \mathcal{L} &~=~ \frac{\rho}{4} \, \left[ (L+h_{2}-h_{1}) \, \dot{h_1}^{2} ~+~ (L+h_{1}-h_{2}) \, \dot{h_2}^{2} \right] \\\\ &~-~ \frac{g\,\rho}{2} \, \left[ \frac{1}{2}(L+h_{1}+h_{2})^{2} ~-~ h_{1}^{2} ~-~ h_{2}^{2} \right] \end{align}

Lösung für (b)

Zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen nutzen wir die Euler-Lagrange-Gleichungen. Wir starten mit der Aufstellung der ersten Bewegungsgleichung:8$$ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, \frac{\text{d}\mathcal{L}}{\text{d}\dot{h}_1} ~-~ \frac{\text{d}\mathcal{L}}{\text{d}h_1} ~=~ 0 $$

Jetzt musst du nur noch die in (a) hergeleitete Lagrange-Funktion einsetzen und ableiten, dann kommst du auf die 1. Bewegungsgleichung:9$$ (L+h_{2}-h_{1})(\ddot{h_{1}}+g) ~-~ \frac{1}{2}(\dot{h_1}-\dot{h_2})^{2} ~=~ 0 $$

Mit der zweiten Bewegungsgleichung gehst du analog vor und setzt die Lagrange-Funktion in die Euler-Lagrange-Gleichung ein:10$$ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, \frac{\text{d}\mathcal{L}}{\text{d}\dot{h}_2} ~-~ \frac{\text{d}\mathcal{L}}{\text{d}h_2} ~=~ 0 $$

Die 2. Bewegungsgleichung lautet dann:11$$ (L+h_{1}-h_{2})(\ddot{h_{2}}+g) ~-~ \frac{1}{2}(\dot{h_1}-\dot{h_2})^{2} ~=~ 0 $$

Lösung für (c)

Die 1. Bewegungsgleichung - nach Addition der Differentialgleichungen 9 und 10 aus (b) - lautet:$$ L(\ddot{h_{1}}+\ddot{h_{2}}) ~+~ 2L\,g ~-~ x\ddot{x} ~-~ \dot{x}^2 ~=~ 0 $$

Die 2. Bewegungsgleichung - nach Subtraktion der Differentialgleichungen aus (b) - lautet:$$ L\ddot{x} ~-~ x(\ddot{h_1}+\ddot{h_2}+2g) ~=~ 0 $$

Löse beide nach \( (\ddot{h_1}+\ddot{h_2}) \) auf und setze gleich. Dann bekommst Du:$$ \frac{x\cdot{x}}{l^{2}-x^{2}} ~=~ \frac{\ddot{x}}{\dot{x}} $$

Durch scharfes Hinsehen erkennst Du, dass:$$ \frac{\ddot{x}}{\dot{x}} ~=~ \frac{d}{dt} \, \ln(\dot{x}) $$und auch:$$ \frac{-2x\dot{x}}{L^{2}-x^{2}} ~=~ \frac{d}{dt} \, \ln(L^{2}-x^{2}) $$

Setze die beiden Ausdrücke in die neue DFG ein, und integriere über die Zeit, um die zweite Ableitung \(\ddot{x}\) zu eliminieren. Dann bekommst Du:$$ \dot{x} ~=~ \frac{C}{\sqrt{L^{2}-x^{2}}} $$wobei C eine Konstante ist.

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