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Aufgabe mit Lösung Laplace-Entwicklungssatz: 3x3 Determinante

Bereche die folgende Determinante der 3x3-Matrix: \[ \begin{vmatrix}2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} \]

Lösungstipps

Schau Dir einfach das Video zur Laplace-Entwicklung an, dann weißt Du, wie es geht.

Lösung

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Es muss Dir sofort die Null in der ersten Spalte bzw. dritten Zeile auffallen, denn wenn Du nun nach der 1.Spalte bzw. 3.Zeile mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz entwickelst, kommst Du am schnellsten zum Ergebnis, weil dann ein Summand wegfällt. Lass uns einfach nach der 1.Spalte entwickeln.

Jeder Eintrag der Matrix bekommt ein bestimmtes Vorzeichen zugewiesen, wobei der ganz erste Matrixeintrag das Vorzeichen "Plus" bekommt.

In Deiner Beispielmatrix bekommt der erste Eintrag (also Zahl 2) das Vorzeichen Plus: +2. Da wir uns für die Entwicklung nach der 1.Spate entschieden haben, musst Du in jedem Fall die erste Spalte "gedanklich durchstreichen". Jetzt streichst Du noch die Zeile gedanklich durch, in der sich diese +2 befindet.

Danach multiplizierst Du +2 mit der Unterdeterminante (also mit nicht durchgestrichenen Einträgen): \[ +2~*~\begin{vmatrix}4 & -2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \]

Lasse weiterhin die 1.Spalte "gedanklich durchgestrichen". Jetzt gehst Du mit Deinem gedanklichen Durchstrich der 1.Zeile eine Zeile nach unten. Nun musst Du +1 mit der entstandenen Unterdeterminante multiplizieren. Das Vorzeichen des Schachbrettmusters wechselt immer. Also muss vor +1 noch ein Minus hin. +1 wird also zu -(+1)=-1. Multipliziere sie nun mit der entstandenen Unterdeterminante: \[ -1~*~\begin{vmatrix}1 & 3 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \]

Der nächste Eintrag in Deiner ausgewählten ersten Spalte ist 0. Null multipliziert mit der Unterdeterminante ergibt wieder 0: \[ +0~*~\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} ~=~ 0 \]

Merkst Du hier, warum es sich lohnt nach den Spalten oder Zeilen zu entwickeln, die die meisten Nulle enthält?

Nun musst Du die Berechnungen addieren: \[ +2~*~\begin{vmatrix}4 & -2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}~-~1~*~\begin{vmatrix}1 & 3 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \]

In der Summe stehen noch 2x2-Determinanten, die Du noch berechnen musst. Wie Du 2x2-Determinanten mit Laplace-Entwicklung berechnest, ist Dir hoffentlich klar!

Nach deren Berechnung bekommst Du die Determinante der 3x3 Ausgansmatrix: \[ 2*[4*2 - (-2)*(-1)] - 1*[1*2 -3*(-1)] ~=~ 7 \]

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