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Aufgabe mit Lösung Zylinderförmiger Leiter: Strom berechnen

Ein zylindrischer Leiter mit Radius \(r\), Länge \(L\) und der Leitfähigkeit \(\sigma\) besitzt an seinen Enden ein konstantes Potential und eine Potentialdifferenz \(U\), weshalb das elektrische Feld im Inneren des Leiters konstant ist.

  1. Wie groß ist die Stromstärke \(I\) in diesem Leiterabschnitt?
  2. Finde heraus, aus welchem Material der Leiter besteht. Dazu misst Du an dem Leiterstück der Länge \(L = 1 \, \text{m} \) eine Spannung \(U = 0.055 \, \text{V} \) und eine Stromstärke \(I = 10.28 \, \text{A} \). Den Radius \( r = 1 \, \text{mm} \) hast Du auch bestimmt. Um welches Material handelt es sich?
Materialien und ihre spez. Widerstände
MaterialSpez. Widerstand \( \rho = 1/\sigma \)
Silizium2.5·103Ωm
Cuprium (Kupfer)1.68·10-8Ωm
Reines Wasser2.5·105Ωm
Lösungstipps

Stromdichte ist gegeben durch: \[ j = \sigma \, E \]

Stromstärke: \[ I = j \, A \]

Lösung

Lösung zu (a)

Da elektrisches Feld in diesem Leiter konstant ist, ist auch die Stromdichte konstant: 1 \[ j = \sigma \, E = \text{const.} \]

Strom ist gegeben durch: \( I = j \, A \). Setze Stromdichte 1 ein: 2 \[ I = \sigma \, E \, A \]

E-Feld \(E\) lässt sich schreiben als Potential \(U\) pro Länge \(L\). Und Querschnittsfläche, durch die der Strom fließt, entspricht der Fläche des Kreises \(A = \pi \, r^2 \). \(E\) und \(A\) einsetzen ergibt:3\[ I = \frac{\pi\;\sigma\,r^2}{L} \, U \]

Der gesamte Strom \(I\), der von einem Ende zum anderen fließt, ist also proportional zur zwischen ihnen herrschenden Potentialdifferenz \(U\). Der Proportionalitätsfaktor ist:4\[ \frac{\pi\,\sigma\,{r^2}}{L} \] und wird als elektrischer Leitwert \(G\) bezeichnet. Sein Kehrwert \(\frac{1}{G}\) bezeichnet man als Widerstand \(R\), der von der Geometrie der Anordnung (Fläche, Länge etc.) und der Leitfähigkeit des Mediums zwischen den Enden (Elektroden) abhängt.

Lösung zu (b)

Dazu benutzt Du das Ergebnis aus (a). Forme nach der Leitfähigkeit \(\sigma\) um: \[ \sigma = \frac{IL}{\pi{r^2}U} \]

In der Tabelle sind spezifische Widerstände ρ = 1/σ angegeben; deshalb bildest Du den Kehrwert von σ um auf den spez. Widerstand zu kommen:\[ \rho = \frac{\pi{r^2}U}{IL} \]

Setze die gegebenen Werte ein und Du bekommst:\[ \rho = \frac{\pi*{0.001\,\text{m}}^{2}*0.055\,V}{10.28\,A*1\,\text{m}}=1.68*10^{-8}\,\frac{\text V}{\text A} \, \text{m} \]

Es handelt sich also um einen Leiter namnens Cuprium (Kupfer), mit dem spezifischen Widerstand:\[ \rho = 1.68 \, 10^{-8} \, \Omega \text{m} \]

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