Aufgabe mit Lösung Hohlspiegel: Radius, Abstand, Vergrößerung, Orientierung
Level 3
0.45m vor einem gewölbten Spiegel mit der Brennweite \(f\) = 0.3m wurde ein Objekt platziert.
- Gib den Krümmungsradius des Hohlspiegels an
- Wie weit ist das Bild entfernt?
- Wie ist der Vergrößerungsfaktor des Hohlspiegels?
- Wie ist die Orientierung des Bildes bezogen auf das Objekt?
Lösungstipps
Benutze die Abbildungsgleichung:\( \frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b} \)
Mach eine Skizze und verfolge die Strahlen, um die Orientierung herauszufinden.
Um den Vergrößerungsfaktor herauszufinden, nutze beispielsweise den Matrixformalismus. Du bekommst eine 2x2-Matrix heraus mit den Einträgen ABCD. Der Eintrag D ist dann der Vergrößerungsfaktor.
Lösung
Lösung zu (a)
Für den Krümmungsradius R am Hohlspiegel gilt:\[ R ~=~ 2f ~=~ 2 \,*\, 0.3 \, \text{m} ~=~ 0.6 \, \text{m} \]
Lösung zu (b)
Forme die Abbildungsgleichung nach der Bildweite \( b \) um:\[ b ~=~ \frac{1}{\frac{1}{f} - \frac{1}{g}} ~=~ \frac{1}{ \frac{1}{0.3 \,\text{m} } - \frac{1}{0.45 \,\text{m} } } ~=~ 0.9 \, \text{m} \]
Lösung zu (c)
Die Ausbreitung eines Lichtstrahls bis zum Hohlspiegel wird durch die folgende Matrix beschrieben:\[ \left(\begin{array}{c}1 & g\\ 0 & 1\end{array}\right) \]
An der Oberfläche des Hohlspiegels ändert sich der Winkel und die Richtung des Strahls:\[ \left(\begin{array}{c}1 & 0\\ -2/R & 1\end{array}\right) \]
Die Ausbreitung des Lichtstrahls nach der Reflexion wird durch folgende Matrix beschrieben:\[ \left(\begin{array}{c}1 & b\\ 0 & 1\end{array}\right) \]
Beim Zusammenrechnen der Matrizen, beachte die richtige Reihenfolge. Die Matrizen werden von links multipliziert:\[ \left(\begin{array}{c}1-\frac{2g}{R} & b + g\,\left( 1 - \frac{2b}{R} \right) \\ -\frac{2}{R} & 1 - \frac{2b}{R}\end{array}\right) \]
Die Vergrößerung \(V\) ist das rechte untere Matrixelement:\[ V ~=~ 1 ~-~ \frac{2b}{R} \]
Wenn Du den Krümmungsradius \(R\) aus der Teilaufgabe (a) einsetzt, bekommst Du:\[ V ~=~ 1 - \frac{0.9\, \text m}{0.6\, \text m} ~=~ -0.5 \]
Lösung zu (d)
Das Bild steht - bezogen auf das Objekt - auf dem Kopf, da die errechnete Vergrößerung aus (c), negativ ist.
