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Aufgabe mit Lösung Hohlspiegel: Radius, Abstand, Vergrößerung, Orientierung

Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

0.45m vor einem gewölbten Spiegel mit der Brennweite \(f\) = 0.3m wurde ein Objekt platziert.

  1. Gib den Krümmungsradius des Hohlspiegels an
  2. Wie weit ist das Bild entfernt?
  3. Wie ist der Vergrößerungsfaktor des Hohlspiegels?
  4. Wie ist die Orientierung des Bildes bezogen auf das Objekt?
Lösungstipps

Benutze die Abbildungsgleichung:\( \frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b} \)

Mach eine Skizze und verfolge die Strahlen, um die Orientierung herauszufinden.

Um den Vergrößerungsfaktor herauszufinden, nutze beispielsweise den Matrixformalismus. Du bekommst eine 2x2-Matrix heraus mit den Einträgen ABCD. Der Eintrag D ist dann der Vergrößerungsfaktor.

Lösung

Lösung zu (a)

Für den Krümmungsradius R am Hohlspiegel gilt:\[ R ~=~ 2f ~=~ 2 \,*\, 0.3 \, \text{m} ~=~ 0.6 \, \text{m} \]

Lösung zu (b)

Forme die Abbildungsgleichung nach der Bildweite \( b \) um:\[ b ~=~ \frac{1}{\frac{1}{f} - \frac{1}{g}} ~=~ \frac{1}{ \frac{1}{0.3 \,\text{m} } - \frac{1}{0.45 \,\text{m} } } ~=~ 0.9 \, \text{m} \]

Lösung zu (c)

Die Ausbreitung eines Lichtstrahls bis zum Hohlspiegel wird durch die folgende Matrix beschrieben:\[ \left(\begin{array}{c}1 & g\\ 0 & 1\end{array}\right) \]

An der Oberfläche des Hohlspiegels ändert sich der Winkel und die Richtung des Strahls:\[ \left(\begin{array}{c}1 & 0\\ -2/R & 1\end{array}\right) \]

Die Ausbreitung des Lichtstrahls nach der Reflexion wird durch folgende Matrix beschrieben:\[ \left(\begin{array}{c}1 & b\\ 0 & 1\end{array}\right) \]

Beim Zusammenrechnen der Matrizen, beachte die richtige Reihenfolge. Die Matrizen werden von links multipliziert:\[ \left(\begin{array}{c}1-\frac{2g}{R} & b + g\,\left( 1 - \frac{2b}{R} \right) \\ -\frac{2}{R} & 1 - \frac{2b}{R}\end{array}\right) \]

Die Vergrößerung \(V\) ist das rechte untere Matrixelement:\[ V ~=~ 1 ~-~ \frac{2b}{R} \]

Wenn Du den Krümmungsradius \(R\) aus der Teilaufgabe (a) einsetzt, bekommst Du:\[ V ~=~ 1 - \frac{0.9\, \text m}{0.6\, \text m} ~=~ -0.5 \]

Lösung zu (d)

Das Bild steht - bezogen auf das Objekt - auf dem Kopf, da die errechnete Vergrößerung aus (c), negativ ist.

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