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Aufgabe mit Lösung Energieerhaltungssatz: Höhe, die ein Ball maximal erreicht

Ein 0.2 kg schwerer Ball wird mit einer Geschwindigkeit von \( 20 \, \frac{\text m}{\text s} \) nach oben geworfen.

Welche maximale Höhe \(h\) erreicht der Ball? (Reibung kann vernachlässigt werden.)

Lösungstipps

Nutze die Formel für Energieerhaltung: \[ W ~=~ W_{\text{kin}} ~+~ W_{\text{pot}} \]

Gravitationsbeschleunigung beträgt: \( g ~=~ 9.8 \, \frac{\text m}{\text{s}^2} \)

Lösung

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Der Ball bekommt beim Hochwerfen eine Bewegungsenergie \(W_{\text{kin}}\). Ihr Wert ist abhängig von der Geschwindigkeit und der Masse des Balls. Die Bewegungsenergie des Balls beträgt: 1 \[ W_{\text{kin}} ~=~ \frac{1}{2} \, m \, v^2 \]

Da - wegen dem Energieerhaltungssatz - diese Bewegungsenergie nicht einfach irgendwohin verschwinden kann, wird sie in Höhenenergie \( W_{\text{pot}} \) umgewandelt. Das heißt: Je weiter der Ball nach oben fliegt, desto weniger Bewegungsenergie besitzt er (er wird langsamer), DAFÜR ABER bekommt er eine größere Höhenenergie (potentielle Energie). Befindet sich der Ball auf der Höhe \(h\), dann hat er folgende potentielle Energie: 2 \[ W_{\text{pot}} ~=~ m \, g \, h \]

Nach dem Energieerhaltungssatz muss also die Gesamtenergie des Balls entweder in seiner Bewegungsenergie und/oder der Höhenenergie stecken. Wenn \( W_{\text{pot}} \) maximal ist, ist \( W_{\text{kin}} \) Null. Und andersherum. Der Ball kann also maximal bis zur Höhe \( h \) fliegen, wo er seine ganze Bewegungsenergie in Höhenenergie umgewandelt hat (wäre dies nicht so, so wär der Ball noch höher geflogen). Jetzt steckt die ganze Bewegungsenergie des Balls in seiner Höhenenergie: 3 \[ W_{\text{pot}} ~=~ W_{\text{kin}} \]

Setze die konkreten Formeln in 3 ein: 4 \[ m \, g \, h ~=~ \frac{1}{2} \, m \, v^2 \] und forme nach der gesuchten maximalen Höhe um: 5 \[ h ~=~ \frac{v^2}{2g} \]

Wie Du siehst, die erreichte Höhe des Balls ist unabhängig von seiner Masse \( m \), da sie sich weggekürzt hat. Das heißt: Du könntest auch ein ganzes Auto mit einer Geschwindigkeit von 20 \( \frac{\text m}{\text s} \) nach oben werfen, es würde die gleiche Höhe wie der Ball erreichen!

Setze nur noch die gegebenen Werte ein und Du erhälst die konkrete Höhe: 5 \[ h ~=~ \frac{ (20 \, \frac{\text m}{\text s})^2 }{2 * 9.8 \, \frac{\text m}{\text s} } ~=~ 20.4 \, \text{m} \]

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