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Aufgabe mit Lösung Magnetfeld aus dem Vektorpotential berechnen

Level 4
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.

Berechne die magnetische Flussdichte \( \boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}\right) \) aus dem Vektorpotential \( \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{r}\right) \), gegeben durch:\[ \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) ~=~ \frac{\boldsymbol{m} ~\times~ \boldsymbol{r}}{r^3} \]

Lösungstipps

Für magnetische Flussdichte gilt: \[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \nabla ~\times~ \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) \]

Lösung

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Die magnetische Flussdichte berechnest Du aus dem gegebenen Vektorpotential folgendermaßen:1\[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \nabla ~\times~ \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) \]

Setze zuerst das gegebene Vektorpotential in 1 ein:2\[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \nabla ~\times~ \left( \frac{ \boldsymbol{m} ~\times~ \boldsymbol{r} }{ r^3 } \right) \]

Wie Du in 2 siehst: Es ist ein doppeltes Kreuzprodukt, welches Du berechnen musst, um auf die magnetische Flussdichte zu kommen. Diese Aufgabe meisterst Du am elegantesten mithilfe der Indexnotation. Schreibe deshalb das äußere Kreuzprodukt in 2 mittels Levi-Civita-Tensor \( \varepsilon_{ijk} \) um, und den Nabla-Operator \( \nabla \) als Differentialoperator mit einem Index \( \partial_j \):3\[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \partial_j \, r^{-3} \, \left( \boldsymbol{m} ~\times~ \boldsymbol{r} \right)_k \]

Den Betrag \( r ~=~ (x_1 x_1 + x_2 x_2 + x_3 x_3)^{1/2} \) des Ortsvektors \( \boldsymbol{r} \), kannst Du mit der Einsteinschen Summenkonvention auch folgendermaßen schreiben, wobei über den doppelt auftretenden Index \( s \) summiert wird:4\[ r ~=~ (x_s \, x_s)^{1/2} \]damit sieht das im Vektorpotential vorkommende \( r^{-3} \) so aus:5\[ r^{-3} ~=~ (x_s \, x_s)^{-3/2} \]

Wenn Du noch das andere Kreuzprodukt in 3 mittels Levi-Civita-Tensor \( \varepsilon_{klm} \) schreibst und 5 einsetzt, dann bekommst Du:6\[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \partial_j \, (x_s \, x_s)^{-3/2} \, \varepsilon_{klm} \, m_l \, x_m \]

Nun musst Du den Differentialoperator \( \partial_j \) (Ableitung nach der Ortskoordinate \(x_j\)) anwenden, wobei Du die Produktregel für Ableitungen berücksichtigen musst. Dabei kannst Du die beiden Levi-Civita-Tensore und den Einheitsvektor ausklammern, weil sie nicht von Ortskoordinaten abhängen und somit aus Sicht des Differentialoperators Konstanten sind:7\[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \varepsilon_{klm} \left( m_l \, x_m \, \partial_j \, (x_s \, x_s)^{-3/2} ~+~ (x_s \, x_s)^{-3/2} \, \partial_j \, m_l \, x_m \right) \]

Das \(m_l \) ist aus Sicht der partiellen Integration nach \( x_s \), ebenfalls nur eine Konstante. Die Ableitung \( \partial_j \, x_m \) ist nur dann 1, wenn \( j = m \) ist. Und die Ableitung ergibt 0, wenn \( j \neq m \). Also kannst Du die Ableitung mithilfe von Kronecker-Delta schreiben: \( \partial_j \, x_m ~=~ \delta_{jm} \), welches entweder 1 oder 0 ist, je nach dem ob die Indizes gleich oder ungleich sind. Mit dieser Überlegung verwandelt sich 7 zu:8\[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \varepsilon_{klm} \left( m_l \, x_m \, \partial_j \, (x_s \, x_s)^{-3/2} ~+~ (x_s \, x_s)^{-3/2} \, m_l \, \delta_{jm} \right) \]

Multipliziere die Klammern aus und fasse nach den Kronecker-Rechenregeln z.B. \( \varepsilon_{ijk}\delta_{jm} = \varepsilon_{imk} \) zusammen. Aus der Übung "Produkt von zwei Levi-Civita-Tensoren mit gleichen Indizes" weißt Du: \( \varepsilon_{imk}\varepsilon_{klm} = 2\delta_{il} \). Insgesamt steht dann Folgendes:9\[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \varepsilon_{klm} m_l \, x_m \, \partial_j \, (x_s \, x_s)^{-3/2} ~+~ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, 2\delta_{il} \, m_l \, (x_s \, x_s)^{-3/2} \]

Fasse dann \( \delta_{il}\,m_l = m_i \) zusammen und rechne die Ableitung \( \partial_j \, (x_s \, x_s)^{-3/2} = -3x_j \, (x_s \, x_s)^{-5/2} \) aus. Wende anschließend die Identität \( \varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{klm} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{jl}\delta_{im} \) an. Dann wird 9 zu:10\[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ -3\boldsymbol{\hat{e}}_i \, (\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{jl}\delta_{im}) \, m_l \, x_j \, x_m \, (x_s \, x_s)^{-5/2} ~+~ 2\boldsymbol{\hat{e}}_i \, \, m_i \, (x_s \, x_s)^{-3/2} \]

Multipliziere die Klammer aus und fasse Kronecker-Delta nach Deinem Wunsch zusammen:11\[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ -3\boldsymbol{e}_l \, m_l \, x_m \, x_m \, (x_s \, x_s)^{-5/2} ~+~ 3\boldsymbol{e}_m \, m_j \, x_j \, x_m \, (x_s \, x_s)^{-5/2} ~+~ 2\boldsymbol{\hat{e}}_i \, \, m_i \, (x_s \, x_s)^{-3/2} \]

An dieser Stelle kannst Du die Indizes wieder in Vektoren umwandeln. Mit \( \boldsymbol{\hat{e}}_i \, m_i ~=~ \boldsymbol{m} \) und \( x_m \, x_m = r^2 \) hast Du:12\[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ -3 \boldsymbol{m} r^2 \, r^{-5} ~+~ 3\boldsymbol{r}(\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{r}) \, r^{-5} ~+~ 2 \boldsymbol{m} r^{-3} \]

Wegen \( r^2 \, r^{-5} = r^{-3} \) hebt sich der letzte Summand mit zwei der drei vorderen Terme weg. Was übrig bleibt, ist:13\[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ -3 \boldsymbol{r} \, \frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{r}}{r^5} ~-~ \frac{\boldsymbol{m}}{r^3} \]

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