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Aufgabe mit Lösung Übergang von n=2 auf n=3 im Wasserstoffatom

Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Betrachte im Bohr-Atommodell den Übergang vom Energieniveau \( n ~=~ 2 \) auf \( n ~=~ 3 \).

  1. Wie groß ist die Energie (in Elektronenvolt), die das Elektron braucht, um vom Zustand \( n ~=~ 2 \) auf einen höheren Zustand \( n ~=~ 3 \) zu wechseln?
  2. Welche Lichtfrequenz \( f \) kann diesen Übergang realisieren?
  3. Welcher Wellenlänge \( \lambda \) entspricht diese Frequenz?
  4. Welcher Wellenzahl \( k \) entspricht diese Frequenz?
Lösungstipps

Teilaufgabe (a): Benutze die Formel für die Bindungsenergie des Elektrons im \(n\)-ten Zustand für das H-Atom.

Teilaufgabe (b): Benutze den Zusammenhang zwischen der Photonenenergie und der Frequenz.

Teilaufgabe (c): Wie hängen Lichtfrequenz und Lichtwellenlänge zusammen?

Teilaufgabe (d): Wie hängen Wellenzahl und Wellenlänge zusammen?

Lösung

Lösung zu (a) anzeigen

Ein Übergang des Elektrons vom Energieniveau \( n ~=~ 2 \) auf \( n ~=~ 3 \) entspricht der sogenannten \( H_{\alpha} \)-Linie im Wasserstoffatom im Bohr-Atommodell.

Die Bindungsenergie des Elektrons im Zustand \( n ~=~ 2 \) ist:\[ W_2 ~=~ \frac{-13.6 \, \text{eV}}{n^2} ~=~ \frac{-13.6 \, \text{eV}}{2^2} ~=~ -3.4 \, \text{eV} \]analog für die Bindungsenergie im Zustand \( n ~=~ 3 \).

Dementsprechend braucht das Elektron für den Übergang von \( n ~=~ 2 \) auf \( n ~=~ 3 \) folgende Menge an Energie:\[ W_2 ~-~ W_3 ~=~ -3.4 \, \text{eV} ~-~ (-1.5 \, \text{eV}) ~=~ -1.9 \, \text{eV} \]

Lösung zu (b) anzeigen

Zur Berechnung der Frequenz des Photons, welches in der Lage ist diesen Übergang zu gewährleisten, benutze die folgende Beziehung:\[ W ~=~ h \, f \]

Die notwendige Energie \( W ~=~ |-1.9 \, \text{eV}| \) für den Übergang wurde im Aufgabenteil (a) berechnet. Also ist die nötige Frequenz \( f \) des Photons:\[ f ~=~ \frac{E}{h} ~=~ \frac{ 1.9 \, \text{eV} }{ 6.6 \cdot10^{-34} \, \text{Js} } ~=~ \frac{ 1.9 \, \text{V} \,\cdot\, 1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{As} }{ 6.6 \cdot 10^{-34} \, \text{Js} } ~=~ 4.6 \cdot 10^{14} \, \frac{1}{\text s} ~=~ 460 \, \text{THz} \]

Lösung zu (c) anzeigen

Jeder Frequenz \( f \) eines Photons kann auch eine Wellenlänge \( \lambda \) zugeordnet werden. Die Frequenz und Wellenlänge sind durch Lichtgeschwindigkeit \( c \) miteinander verknüpft:\[ \lambda ~=~ \frac{c}{f} ~=~ \frac{ 3 \cdot 10^8 \, \frac{\text m}{\text s} }{ 4.6 \,\cdot\, 10^{14} \, \frac{1}{\text s} } ~=~ 6.5 \,\cdot\, 10^{-7} \, \text{m} ~=~ 650 \,\cdot\, 10^{-9} \, \text{m} ~=~ 650 \, \text{nm} \]

Lösung zu (d) anzeigen

Um zu verdeutlichen, wie oft das Photon mit Wellenlänge \( \lambda ~=~ 650 \, \text{nm} \) (siehe Aufgabenteil c) pro Meter eine Schwingung ausführt, berechnest Du die Wellenzahl:\[ k ~=~ \frac{1}{\lambda} ~=~ \frac{1}{650 \cdot 10^{-9} \, \text{m} } ~=~ 1.5 \cdot 10^6 \, \frac{1}{\text m} \]

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