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Aufgabe mit Lösung Produktregel für den Gradient / Nabla-Operator (2D)

Nimm zwei skalare Funktionen der Form \( f(x,y) \) und \( g(x,y) \). Zeige, dass folgendes gilt: \[ \nabla (f \, g) ~=~ f \, \nabla g ~+~ g \, \nabla f \]hierbei ist \( \nabla \) der Nabla-Operator.

Lösungstipps

Schreibe die Vektorgleichung aus.

Lösung

Lösung anzeigen

Zuerst definieren wir partielle Ableitungen \( \frac{\partial}{\partial i} := \partial_i \) mit \( i \in \{ x,y,z \}\) für eine kompakte Notation.

Laut der Quest sind die skalaren Funktionen \( f(x,y) \) und \( g(x,y) \) abhängig von nur zwei Variablen \( x, y \). Somit brauchst Du einen zweidimensionalen \( \nabla \)-Operator (die z-Komponente wird weggelassen): 1\[ \nabla (f \, g) ~=~ \left(\begin{array}{c} \partial_x \left(f \, g\right) \\ \partial_y \left(f \, g\right) \end{array}\right) \]

Wende Produktregel für Ableitungen, also (a b)' = a b' + b a', auf die Komponenten von 1 an:2\[ \nabla (f \, g) ~=~ \left(\begin{array}{c} f \, \partial_x g + g \, \partial_x f\\ f \, \partial_y g + g \, \partial_y f \end{array}\right) \]

Ziehe den Summenvektor 2 in zwei Vektoren auseinander: 3\[ \nabla (f \, g) ~=~ f \, \left(\begin{array}{c} \partial_x g \\ \partial_y g \end{array}\right) ~+~ g \, \left(\begin{array}{c} \partial_x f\\ \partial_y f \end{array}\right) \]

Setze die Definition von \( \nabla \) ein:4\[ \nabla (f \, g) ~=~ f \, \nabla g ~+~ g \, \nabla f \]

Und schon ist die Quest gelöst - die Produktregel für Nabla ist bewiesen!

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