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Aufgabe mit Lösung Klassische Kreisfrequenz des Elektrons im H-Atom

Im Bohrschen Atommodell kreisen Elektronen auf Kreisbahnen um den Atomkern, die in bestimmten diskreten Abständen zum Kern sind. Die Kreisfrequenz eines Elektrons kann mit klassischen Mitteln berechnet werden und zwar ist diese Kreisfrequenz abhängig vom Abstand zum Kern.

Bestimme die klassische Kreisfrequenz \( \omega_n \) eines Elektrons - in Abhängigkeit vom Abstand zum Atomkern des Wasserstoffatoms, in dem Du die Quantenzahl \( n \) und die Quantisierung des Drehimpulses mit einbeziehst.

Lösungstipps

Benutze Coulomb-Gesetz, sowie Zentripetalkraft für Deine Überlegungen. Mache Dir klar, wie Kreisfrequenz definiert ist. Bestimmte dann mit der Formel für quantisierten Drehimpuls den quantisierten Radius \( r_n \), mit der das Elektron (im Zustand mit der Quantenzahl \( n \)) den Kern umkreist.

Lösung

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Um die Umkreisfrequenz \( \omega_n \) eines klassischen Elektrons im H-Atom zu bestimmen, musst Du zuerst herausfinden, welche Bedingung das kreisende Elektron erfüllt. Im Bohrschen Atommodell bleibt es immer auf bestimmten Abstand \( r_n \) zum Atomkern des Wasserstoffatoms - in Abhängigkeit vom \( n \)-ten Energieniveau.

Damit der gleiche Abstand eingehalten wird, muss die Zentripetalkraft \( F_{\text Z} \) der anziehenden Kraft \( F_{\text c} \) zwischen dem negativen Elektron und dem positiven Atomkern entsprechen - welche durch das Coulomb-Gesetz gegeben ist. Setze also die elektrische Coulomb-Kraft und die Zentripetalkraft gleich:1\[ \frac{Q_1 \, Q_2}{4\pi \, \varepsilon_0 \, r_{n}^2} ~=~ \frac{m \, v_{n}^2}{r_n} \]

Im Wasserstoffatom befindet sich im Atomkern ein positiv geladenes Proton mit der Ladung \( Q_1 ~=~ +e \), welches von einem einzigen negativ geladenen Elektron mit der Ladung \( Q_2 ~=~ -e \) umkreist wird. Dabei entspricht \( e \) der Elementarladung mit dem Wert: \( e ~=~ 1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \). Wir betrachten im Folgenden nur die Beträge, d.h. \( Q_1 = Q_2 = e \).

Die Masse \( m \) in der Gleichung 1 ist die Masse des kreisenden Teilchens, also Masse des Elektrons \( m := m_{\text e} \). Und \( \varepsilon_0 \) ist die elektrische Feldkonstante, die Du auch in Deiner Formelsammlung findest.

Setzt Du nun die beiden Ladungen und die Masse (aber nicht als Zahlen) in Gleichung 1 ein, dann hast Du:2\[ \frac{e^2}{4\pi \, \varepsilon_0 \, r_{n}^2} ~=~ \frac{m_e \, v_{n}^2}{r_n} \]

Jetzt musst Du noch irgendwie auf die Kreisfrequenz \( \omega_n \) kommen. Und zwar am besten so, dass Du sie nur mit physikalischen Größen ausdrückst, die bereits in der Gleichung 2 vorhanden sind. Dabei hängt die Kreisfrequenz mit der Umlaufzeit \( T_n \) folgendermaßen zusammen: \( \omega_n = 2 \pi \frac{1}{T_n} \). Du musst also zuerst die Umlaufzeit bestimmen.

Die Umlaufzeit \( T_n \) (auch Periodendauer genannt) ist - in Deinem Fall - Umfang des Kreises \( 2\pi \, r_n \) pro Geschwindigkeit \( v_n \). (Du weißt ja: Strecke pro Geschwindigkeit entspricht der benötigten Zeit). Zusammengefasst ist die Periodendauer also:3\[ T_n ~=~ \frac{2\pi \, r_n}{v_n} \]

Die Frequenz \( f_n \) ist definiert als \( \frac{1}{T_n} \). Du hast also folgenden Ausdruck für die Frequenz, wenn Du 3 benutzt:4\[ f_n ~=~ \frac{1}{T_n} ~=~ \frac{v_n}{2\pi \, r_n} \]

Die Kreisfrequenz ist definiert als \( \omega_n = 2 \pi \frac{1}{T_n} = 2\pi \, f_n \). Du musst also die Gleichung 4 für Frequenz auf beiden Seiten mit \( 2\pi \) multiplizieren, um auf die Kreisfrequenz zu kommen:5\[ \omega_n ~=~ \frac{v_n}{r_n} \]

Jetzt hast Du eine Kreisfrequenz-Gleichung, die nur Größen enthält, die in Gleichung 2 vorhanden sind; nämlich die Geschwindigkeit \( v_n \) und der Radius der Kreisbahn \( r_n \).

Nun kannst Du die Kreisfrequenz-Gleichung 5 nach der Geschwindigkeit umformen:6\[ v_n ~=~ \omega_n \, r_n \]und sie in die Gleichung 2 einsetzen. Dabei kürzt sich ein \( r_n \) im Bruch weg:7\[ \frac{e^2}{4\pi \, \varepsilon_0 \, r_{n}^2} ~=~ m_e \, \omega_{n}^2 \, r_n \]

Du suchst ja die Formel für Kreisfrequenz, also forme die Gleichung nach der Kreisfrequenz um:8\[ \omega_n ~=~ \sqrt{ \frac{e^2}{4\pi \, \varepsilon_0 \, m_e \, r_{n}^3} } \]

Der Radius \( r_n \) ist Dir leider nicht bekannt und die Quantenzahl \( n \) ist in der Gleichung auch noch nicht vorhanden, deshalb benutzt Du den quantisierten Drehimpuls:9\[ L_n ~=~ m_e \, v_n \, r_n ~=~ n \, \hbar \]Dadurch eliminierst Du den Radius und führst die Quantenzahl in Deine bisjetzige Gleichung 8 ein. Dabei ist \( \hbar \) das reduzierte Wirkungsquantum \( \hbar ~=~ \frac{h}{2\pi} \).

Forme die Drehimpuls-Gleichung 9 nach der Geschwindigkeit um:10\[ v_n ~=~ \frac{n \, \hbar}{m_e \, r_n} \]und setze sie in die Gleichung 2 ein:11\[ \frac{e^2}{4\pi \, \varepsilon_0 \, r_{n}^2} ~=~ \frac{n^2 \, \hbar^2}{r_{n}^3 \, m_e} \]dabei kürzt sich ein \( m_e \) weg.

Forme 11 nach dem Radius \( r_n \) um:12\[ r_n ~=~ \frac{4\pi \, \varepsilon_0 \, n^2 \, \hbar^2}{e^2 \, m_e} \]

Das ist übrigens der Bohrsche Radius. Diesen setzt Du in die Gleichung 8 für Kreisfrequenz ein:13\[ \omega_n ~=~ \sqrt{ \frac{e^8 \, m_{e}^3 }{4\pi \, \varepsilon_0 \, n^6 \, \hbar^6 \, 4^3 \, \pi^3 \varepsilon_{0}^3 m_e} } \]

Kürze und ziehe die Wurzel. Dann hast Du Deine gesuchte Kreisfrequenz, die nur von Konstanten und der Quantenzahl \( n \) abhängt:

14\[ \omega_n ~=~ \frac{e^4 \, m_{e} }{16\pi^2 \, \varepsilon_{0}^2 \, \hbar^3} \, \frac{1}{n^3} \]

Im energetischen Grundzustand \( n = 1 \) hat das Elektron folgende klassische Kreisfrequenz:15\[ \omega_1 ~=~ \frac{e^4 \, m_{e} }{16\pi^2 \, \varepsilon_{0}^2 \, \hbar^3} \]

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