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Aufgabe mit Lösung Produkt von Levi-Civita-Tensoren mit gleichen Indizes

Das Produkt zweier Levi-Civita-Tensoren lässt sich als Determinante einer 3x3-Matrix berechnen, in der Kronecker-Delta's mit verschieden Indizes stehen. Im Fall von einem gleichen Index vereinfacht sich diese auf eine 2x2-Matrix:\[ \varepsilon_{kij} \, \varepsilon_{kmn} ~=~ {\begin{vmatrix}\delta_{im}&\delta_{in} \\ \delta_{jm}&\delta_{jn} \end{vmatrix}} \]

Schau Dir die folgenden drei Fälle an:

  1. Für nur einen gleichen Index: Berechne die Determinante der obigen 2x2-Matrix.
  2. Setze dann \(i=m\) und rechne es nochmal aus. Du kannst das Ergebnis aus a) benutzen.
  3. Danach setze die Indizes \(j=n\) gleich.

Was kommt in diesen drei Fällen heraus?

Lösungstipps

Nutze bei (b) das Ergebnis von (a). Und nutze bei (c) das Ergebnis von (b).

Lösung

Lösung zu (a)

Zur Berechnung der Determinante wurde Laplace-Entwicklungssatz verwendet. Entwickle beispielsweise nach der 1. Zeile. Das ergibt dann:1\[ \varepsilon_{kij} \, \varepsilon_{kmn} ~=~ \delta_{im} \, \delta_{jn} ~-~ \delta_{jm} \, \delta_{in} \]

Du hast eine wichtige Identität hergeleitet! Dabei ist \( \varepsilon_{kij} \, \varepsilon_{kmn} \) das Produkt zweier Levi-Civita-Tensoren und die obige Identität ergibt sich genau dann, wenn die beiden Levi-Civita-Tensoren einen gemeinsamen Index aufweisen. Mit dem Wissen kannst Du z.B. doppeltes Kreuzprodukt \( \boldsymbol{a}\times \left( \boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c} \right) \) leicht umschreiben.

Lösung zu (b)

Weisen Epsilons dagegen zwei gleiche Indizes auf, dann kannst Du in der obigen Identität z.B. \( i = m \) setzen und damit \( i \) durch \( m \) ersetzen:2\[ \varepsilon_{kmj} \, \varepsilon_{kmn} ~=~ \delta_{mm} \, \delta_{jn} ~-~ \delta_{jm} \, \delta_{mn} \]

Dabei ergibt \( \delta_{mm} = 3 \) nach den Rechenregeln von Kronecker-Delta. Und \( \delta_{jm} \, \delta_{mn} = \delta_{jn} \). Insgesamt also:3\[ \varepsilon_{kmj} \, \varepsilon_{kmn} ~=~ 2 \delta_{jn} \]

Lösung zu (c)

Wenn alle Indizes übereinstimmen (d.h. neben \( i = m \) auch \( j = n \)), dann hast Du:4\[ \varepsilon_{kmn} \, \varepsilon_{kmn} ~=~ 2 \delta_{nn} \]

Nach den Kronecker-Delta-Rechenregeln ist \( \delta_{nn} = 3 \). Also:5\[ \varepsilon_{kmn} \, \varepsilon_{kmn} ~=~ 6 \]

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