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Aufgabe mit Lösung Rotation der Rotation eines Vektorfeldes

Zeige, dass die zweimalige Anwendung des Nabla-Operators als Kreuzprodukt mit einem Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\):1\[ \nabla ~\times~ \left(\nabla \times \boldsymbol{F}\right) \]folgenden Zusammenhang ergibt:2\[ \nabla \, \left(\nabla ~\cdot~ \boldsymbol{F}\right) ~-~ \left(\nabla \cdot \nabla \right) \, \boldsymbol{F} \]

Also steht da Gradient der Divergenz von \( \boldsymbol{F} \) MINUS Divergenz des Nabla MAL \( \boldsymbol{F} \). Den Operator \( \nabla \cdot \nabla \) kannst Du auch kürzer als Laplace-Operator \( \Delta := \nabla^2 = \nabla \cdot \nabla \) notieren.

Lösungstipps

Schreibe zuerst die beiden Rotation-Operatoren in Indexnotation mit Levi-Civita-Tensor um. Wende dann die Idenität für Produkt von zwei Levi-Civita-Tensoren an.

Lösung

Lösung anzeigen

Da es sich um ein doppeltes Kreuzprodukt handelt, lässt sich diese Aufgabe in Indexnotation einfacher lösen! Dabei werden wir die Einsteinsche Summenkonvention benutzen.

Schreibe das äußere Kreuzprodukt in 1 mittels Levi-Civita-Tensor \( \varepsilon_{ijk} \) um:3\[ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \partial_j \, \left( \nabla \times \boldsymbol{F} \right)_k \]

Danach das zweite Kreuzprodukt in 1 umschreiben:4\[ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \partial_j \, \varepsilon_{kmn} \, \partial_m \, F_n \]

Nun schreibst Du das Produkt zweier Levi-Civita-Tensoren mittels Kronecker-Delta um:5\[ \varepsilon_{ijk} \, \varepsilon_{kmn} ~=~ \delta_{jn} \, \delta_{im} ~-~ \delta_{in} \, \delta_{jm} \]

Die Gleichung 5 eingesetzt in 4 ergibt:6\[ \boldsymbol{\hat{e}}_i \, \left( \delta_{jn} \, \delta_{im} ~-~ \delta_{in} \, \delta_{jm} \right) \, \partial_j \, \partial_m \, F_n \]

Multipliziere die Klammer in 6 aus und Benutze die Rechenregeln von Kronecker-Delta:7\[ \boldsymbol{e}_m \, \partial_n \, \partial_m \, F_n ~-~ \boldsymbol{e}_n \, \partial_m \, \partial_m \, F_n \]

Schreibe anschließend die Gleichung 7, die in Indexnotation steht, in Vektornotation um (vertausche dazu die Faktoren, sodass Du dann besser siehst, was zusammengefasst werden kann):8\[ \boldsymbol{e}_m \, \partial_m \, \partial_n \, F_n ~-~ \partial_m \, \partial_m \, \boldsymbol{e}_n \, F_n \]

Wende die Definition des Skalarproduktes auf \( \partial_n \, F_n \) und \( \partial_m \, \partial_m \) an und schreibe die Summen \( \boldsymbol{e}_m \, \partial_m \) und \( \boldsymbol{e}_n \, F_n \) in Vektoren um, dann bekommst Du genau die herzuleitende Beziehung:\[ \nabla \, \left(\nabla ~\cdot~ \boldsymbol{F}\right) ~-~ \left(\nabla \cdot \nabla \right) \, \boldsymbol{F} \]

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