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Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Aufgabe mit Lösung Driftgeschwindigkeit, Kraft und Hall-Spannung berechnen

Ein stromdurchflossenes Plättchen im Magnetfeld für den Hall-Effekt.

Ein Silicium-Plättchen mit der Länge \( l \) = 1cm, Breite b = 1mm und Dicke d = 1mm wird von einem Strom Il = 3.36A in Längsrichtung durchflossen und zwar senkrecht zu einem Magnetfeld mit der Stärke Bd = 1T. Das Plättchen hat eine Dichte von np = 42·1020/m3 Defektelektronen. Berechne:

  1. Driftgeschwindigkeit \(v\) der Defektelektronen.
  2. "Kraft" \( F_{\text L} \) auf ein positives Defektelektron.
  3. Hall-Spannung \( U_{\text H} \).

Bemerkung: Der Index bei Bd und Il soll nur Andeuten, in welche Richtung das Magnetfeld (entlang der Dicke) bzw. Strom (entlang der Länge) zeigt.

Lösungstipps

Gehe die Lektion zum "Hall-Effekt" durch, wenn du keine Ahnung hast.

Lösung

Lösung zu (a) anzeigen

Driftgeschwindigkeit ist Geschwindigkeit \( v \) mit der sich die Defektelektronen entlang des Plättchens bewegen. Dabei legen sie eine bestimmte Strecke, nämlich die Plättchenlänge \( l \) innerhalb einer gewissen Zeit \( t \) zurück, was genau der Definition der Geschwindigkeit entspricht: 1 \[ v ~=~ \frac{l}{t} \]

Die Defektelektronen bilden alle zusammen einen Stromfluss mit einer gewissen Stromstärke \( I \), die als Ladung pro Zeit definiert ist: 2 \[ I ~=~ \frac{Q}{t} \]

Wie viel Ladung \( Q \) innerhalb eines Zeitintervalls fließt weißt Du zwar nicht - aber, was Du weißt, ist, dass Gesamtladung \( Q \) sich Anzahl \( N \) der Ladungen multipliziert mit der Elementarladung \( e \) schreiben lässt: 3 \[ Q ~=~ N \, e \]

Die Anzahl \( N \) kennst Du leider auch nicht, aber dafür kennst Du das Volumen des Plättchens \( V ~=~ l \, b \, d \) und die Defektelektronen-Dichte \( n_{\text p} \). Um die Anzahl \( N \) der Defektelektronen in diesem Volumen zu berechnen, rechnest Du: 4 \[ N ~=~ n_{\text p} \, V ~=~ n_{\text p} \, l \, b \, d \]

Setze 4 in 3 ein und dann 3 in 2 und forme nach der Zeit um: 5 \[ t ~=~ \frac{ n_{\text p} \, l \, b \, d \, e}{I} \]

Jetzt kannst Du die Zeit 5 in die Geschwindigkeitsformel 1 einsetzen (dabei kürzt sich Länge l weg): 6 \[ v ~=~ \frac{ I }{ n_{\text p } \, b \, d \, e} \]

Wenn Du jetzt noch vorgegebene Werte einsetzt, erhälst Du die Geschwindigkeit der Elektronen: 7 \[ v ~=~ \frac{ 3.36 \, \text{A} }{ 42*10^{20} \, \frac{1}{\text{m}^3} ~*~ 0.001 \, \text{m} ~*~ 0.001 \, \text{m} ~*~ 1.6*10^{-19} \, \text{C} } ~=~ 5000 \, \frac{\text m}{\text s} \]

Lösung zu (b) anzeigen

Auf den elektrischen Strom \( I \), genauer gesagt auf die fließenden Ladungsträger, wirkt im Magnetfeld \( B \) die Lorentzraft\( F_{\text L} \), die die Ladungsträger des Stroms zum Plättchenrand ablenkt. Jedes einzelne erfährt eine Kraft von: 8 \[ F_{\text L} ~=~ e \, v \, B \]

Da es sich um Defektelektronen handelt, trägt jedes von ihnen die Elementarladung \( +e \). Einsetzen der gegebenen Werte (einschließlich der in (a) ermittelten Driftgeschwindigkeit) ergibt folgende Lorentzraft: 9 \[ F_{\text L} ~=~ 1.6*10^{-19} \, \text{C} ~*~ 5000 \, \frac{\text m}{\text s} ~*~ 1 \, \text{T} ~=~ 10^{-16} \, \text{N} \]

Lösung zu (c) anzeigen

Hall-Spannung \( U_{\text H} \) stellt sich genau dann ein, wenn Lorentzkraft \( F_{\text L} \) komplett durch anziehende Kraft entgegesetzter Ladungen (elektrische Kraft) \( F_{\text e} ~=~ Q \, E \) neutralisiert wird. Es stellt sich also beim Wert der Hall-Spannung, ein Kräftegleichgewicht ein: 10 \[ Q \, v \, B ~=~ Q \, E \]

Da die Ladungsträger sich om oberen und unteren Ende des Plättchens sammeln, kann dies als eine Art Plattenkondensator aufgefasst werden. In diesem gilt: Elektrisches Feld \( E \) ist Spannung \( U_{\text H} \) (hier Hallspannung) pro Abstand \( b \) (welcher der Plättchenbreite entspricht): 11 \[ E ~=~ \frac{U}{b} \]

Setze nun 11 in 10 ein und forme nach der Hallspannung um: 12 \[ U_{\text H} ~=~ b \, v \, B \]

Setzte nur noch alle Werte (einschließlich der Driftgeschwindigkeit aus (a)) ein und Du bekommst die gesuchte Hall-Spannung: 13 \[ U_{\text H} ~=~ 0.001 \, \text{m} ~*~ 5000 \, \frac{\text m}{\text s} ~*~ 1 \, \text{T} ~=~ 5 \, \text{V} \]

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