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Aufgabe mit Lösung Gradient von 1/r und 1/|r-r'| berechnen

In der Physik treten Gradienten wie \( \boldsymbol{\nabla}\frac{1}{r} \) und \( \boldsymbol{\nabla}\frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|} \) (z.B. im elektrostatischen Potential) oft auf. Berechne die beiden Gradienten!

  1. Berechne den Gradienten von \( \frac{1}{r} \).
  2. Berechne den Gradienten von \( \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|} \)

Info: \( r \) ist der Betrag des Vektors \( \boldsymbol{r} \).

Lösungstipps

Zur Teilaufgabe (a): Schreibe die Definition des Betrags eines Vektors hin und leite es einfach nach allen Koordinaten partiell ab.

Zur Teilaufgabe (b): Hier wirkt der Nabla-Operator auf \( \boldsymbol{r} \) und nicht auf \( \boldsymbol{r}' \).

Lösung

Lösung zu (a) anzeigen

Allgemein lautet der Gradient für \( \frac{1}{r} \): \[ \nabla \, \frac{1}{r} (x,y,z) ~=~ \left( \frac{ \partial{r^{-1}} }{ \partial{x} }, \frac{ \partial{r^{-1}} }{ \partial{y} }, \frac{ \partial{r^{-1}} }{ \partial{z} } \right) \]

Der Betrag \( r \) ist im dreidimensionalen Fall: \[ r ~=~ \sqrt{ x^2 ~+~ y^2 ~+~ z^2 } \]

Leite \( \frac{1}{r} \) nach allen 3 Variablen partiell ab:

  • 1. Komponente: \[ \frac{\partial \, r^{-1}}{\partial \, x} ~=~ -\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3/2} \, x \]
  • 2. Komponente: \[ \frac{\partial \, r^{-1}}{\partial \, y} ~=~ -\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3/2} \, y \]
  • 3. Komponente: \[ \frac{\partial \, r^{-1}}{\partial \, z} ~=~ -\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3/2} \, z \]

Damit ergibt sich der Gradient von \( \frac{1}{r} \), wobei \( \left(x,y,z\right) \) ausgeklammert wurde und \( \left(x,y,z\right) ~=~ \boldsymbol{r} \) ist: \[ \nabla \, \frac{1}{r} ~=~ -\frac{\boldsymbol{r}}{ \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3/2} } ~=~ -\frac{\boldsymbol{r}}{r^{3}} \]

Lösung zu (b) anzeigen

Um den Gradient von \( \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|} \) zu berechnen, musst Du erstmal herausfinden, ob der Gradient auf \( \boldsymbol{r} \) oder \( \boldsymbol{r}'\) wirkt. Wenn nichts dazu angegeben ist, wie z.B. durch Notation \( \nabla_{r'} \), dann bezieht sich Nabla \( \nabla \) auf \( \boldsymbol{r} \).

Das Ziel ist es also folgende drei Ableitungen zu berechnen:\[ \nabla \, \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|} ~=~ \left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^{-1} \\ \frac{\partial}{\partial y} |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^{-1} \\ \frac{\partial}{\partial z} |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^{-1} \end{array}\right) \]

Mit \( \boldsymbol{r}(x,y,z) \) und \( \boldsymbol{r}'(x',y',z') \) ist:\[ \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|} ~=~ ((x-x')^2 ~+~ (y-y')^2 ~+~ (z-z')^2 )^{-\frac{1}{2}} \]

Die 1. Komponente ist die Ableitung nach \( x \) (denke an die äußere und innere Ableitung dabei):\[ \frac{\partial}{\partial x} \left( (x-x')^2 ~+~ (y-y')^2 ~+~ (z-z')^2 \right)^{-1/2} ~=~ -\frac{1}{2} *\left( (x-x')^2 ~+~ (y-y')^2 ~+~ (z-z')^2 \right)^{-3/2} * 2(x-x') \]

Die 2 kürzt sich weg und der Ausdruck lässt sich etwas schöner aufschreiben:\[ \frac{\partial}{\partial x}|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^{-1} ~=~ -\frac{x-x'}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^3} \]

Analog gehst Du mit der 2. und 3. Komponenten vor:\[ \frac{\partial}{\partial y}|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^{-1} ~=~ -\frac{y-y'}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^3} \]\[ \frac{\partial}{\partial z}|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^{-1} ~=~ -\frac{z-z'}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^3} \]

Das Ergebnis ist also:\[ \nabla \, \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|} ~=~ -\frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^3} \left(\begin{array}{c} x-x' \\ y-y' \\ z-z' \end{array}\right) ~=~ -\frac{\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^3} \]

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