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Aufgabe mit Lösung Laplace-Entwicklungssatz: 4x4 Determinante berechnen

Bereche die folgende Determinante der 4x4-Matrix: \[ \begin{vmatrix}-2 & -1 & 4 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 3 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 2 & 6 & 3 \end{vmatrix} \]

Lösungstipps

Schau Dir einfach das Video zur Laplace-Entwicklung an, wenn du nicht weißt, wie die Laplace-Entwicklung funktioniert.

Lösung

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4x4 Matrix mit Laplace verarzten: 3x3-Matrizen entstehen

Im Beispiel zur 3x3-Matrix hast Du gelernt, dass es sich lohnt, nach einer Spalte bzw. Zeile zu entwickeln, die die meisten Nullen enthält; weil sich dann die Rechnung vereinfacht. Deshalb entscheide Dich in diesem 4x4-Beispiel für die schnellste Rechnung für die zweite Spalte.

Der erste Eintrag Deiner auserwählten Spalte ist 1, die sich in der ersten Zeile befindet; deshalb vernaschen sie! Zuerst streichst Du die Spalte und Zeile gedanklich durch, in der sich die 1 befindet. Vergiss dabei das "Schachbrettmuster" mit den Vorzeichen nicht! Die 1 steht an der Stelle, der ein Minus zugeordnet ist, weshalb aus der (-1) eine -(-1) = +1 wird. Multipliziere sie mit der jeweiligen Unterdeterminante (Einträge, die - gedanklich - nicht durchgestrichen sind): \[ +1~*~\begin{vmatrix}1 & 2 & 1 \\ 3 & -2 & -1 \\ 0 & 6 & 3 \end{vmatrix} \]

Als nächster Eintrag aus der von uns ausgesuchten Spalte ist: 0. Null multipliziert mit Etwas, ergibt wieder 0, weshalb folgende Verarztung wegfällt: \[ +0~*~\begin{vmatrix}-2 & 4 & 2 \\ 3 & -2 & -1 \\ 0 & 6 & 3 \end{vmatrix} \]

Analog bei der zweiten 0 in der dritten Zeile und zweiten Spalte: \[ -0~*~\begin{vmatrix}-2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 6 & 3 \end{vmatrix} \]

Der letzte Eintrag ist 2. Das Vorzeichen aus dem Schachbrettmuster von der 2 ist ein Plus. Multipliziert mit der Unterdeterminante, nach dem Durchstreichen zweiter Spalte und dritter Zeile, ergibt: \[ +2~*~\begin{vmatrix}-2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} \]

Addition obiger Ausdrücke, ergibt die Determinante der Ausgangsmatrix: \[ +1~*~\begin{vmatrix}1 & 2 & 1 \\ 3 & -2 & -1 \\ 0 & 6 & 3 \end{vmatrix}~+~2~*~\begin{vmatrix}-2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix} \]

3x3 Matrizen mit Laplace verarzten: 2x2 Matrizen entstehen

Das Problem ist: Es stehen jetzt 3x3-Determinanten in der Summe... Um sie loszuwerden, gehst Du analog wie bei der 4x4-Matrix vor und suchst Dir zuerst eine Spalte oder Zeile aus, nach der Du entwickeln möchtest.

Entscheide Dich beispielsweise für die erste Spalte! Du streichst also die erste Spalte und erste Zeile durch und rechnest: \[ +1~*~\begin{vmatrix}-2 & -1 \\ 6 & 3 \end{vmatrix} \]

Danach ist die 3 - mit dem Vorzeichen "Minus" - aus der zweiten Zeile dran: \[ -3~*~\begin{vmatrix}2 & 1 \\ 6 & 3 \end{vmatrix} \]

Der letzte Eintrag der Spalte ist 0: \[ +0~*~\begin{vmatrix}2 & 1 \\ -2 & -1 \end{vmatrix}~=~0 \]

Insgesamt steht für die eben berechnete Unterdeterminante der 3x3-Matrix: \[ +1~*~\begin{vmatrix}-2 & -1 \\ 6 & 3 \end{vmatrix}~-~3~*~\begin{vmatrix}2 & 1 \\ 6 & 3 \end{vmatrix} \]

Wie Du Determinante einer 2x2-Matrix mit Laplace berechnest, weißt Du hoffentlich schon...

Analog verarztest Du die zweite 3x3-Untermatrix: \[ -2~*~\begin{vmatrix}2 & 1 \\ -2 & -1 \end{vmatrix}~-~1~*~\begin{vmatrix}4 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix}~+~3~*~\begin{vmatrix}4 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \]

Rechnest Du noch die entstandenen 2x2-Unterdeterminanten der ersten und zweiten 3x3-Matrix aus und addierst alles zusammen, dann steht da: \[ 1*[1*(-6 - (-6)) - 3*(6 - 6)] + 2*[-2*(-2 - (-2)) - 1*(-4 - (-4)) + 3*(4 - 4)] ~=~ 0 \]

Die Determinante der 4x4 Ausgangsmatrix ist also Null.

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