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Aufgabe mit Lösung Geladener Hohlzylinder: E-Feld innerhalb & außerhalb

Ein unendlich langer Hohlzylinder mit Radius \(R\) ist homogen mit einer Oberflächenladungsdichte \(\sigma\) geladen.

  1. Bestimme das E-Feld \(\boldsymbol{E}\) innerhalb des Hohlzylinders
  2. Bestimme das E-Feld \(\boldsymbol{E}\) außerhalb des Hohlzylinders
Lösungstipps

Benutze die erste Maxwell-Gleichung in integraler Form (Gauß-Gesetz):\[ \oint_{A}\boldsymbol{E}~\cdot~\text{d}\boldsymbol{a} ~=~ \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0}\]

Lösung

Lösung für (a)
Ein gedachter Gauß-Zylinder mit dem Radius \(r\) und Länge \(L\) befindet sich in einem geladenen Zylinder mit dem Radius \(R\).

Der mathematische Gauß-Integralsatz - angewandt auf Elektrostatik - besagt, dass der elektrische Fluss, der durch eine geschlossene Oberfläche \( A \) eintritt und austritt, allein durch die von dieser Oberfläche eingeschlossenen Ladung \( Q_{\text{in}} \) bestimmt ist:1\[ \oint_{A}\boldsymbol{E}~\cdot~\text{d}\boldsymbol{a} ~=~ \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0} \]

Da es sich um einen zylindrischen Körper handelt, eignet sich dafür am besten eine zylinderförmige Oberfläche \(A\) (genannt Gauß-Zylinderfläche). Da in der Teilaufgabe (a) nach dem elektrischen Feld innerhalb des Hohlzylinders gefragt ist, wird die Gauß-Zylinderfläche so gewählt, dass sie sich komplett im Inneren des geladenen Zylinders befindet. Sei der Radius \(r\) des Gauß-Zylinders und seine Länge \(L\), sodass er ins Innere des geladenen Zylinders hineinpasst.

Da es um einen geladenen Hohlzylinder geht, enthält dieser keine elektrischen Ladungen in seinem Inneren (deswegen ist er ja hohl). Seine Ladung sitzt nur auf seiner Oberfläche. Folglich ist die von der Gauß-Zylinderfläche eingeschlossene Ladung \( Q_{\text{in}} = 0 \). Wegen \( Q_{\text{in}} = 0 \) folgt, dass die rechte Seite des Gauß-Gesetzes 1 verschwindet:2\[ \oint_{A} \boldsymbol{E} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} ~=~ 0 \]

Damit die Gleichung 2 erfüllt ist, muss das elektrische Feld \(\boldsymbol{E}\) sich im Inneren wegheben, also:

E-Feld innerhalb eines Hohlzylinders3\[ \boldsymbol{E} ~=~ 0\]
Das Innere eines Hohlzylinders ist feldfrei (Prinzip des Faraday-Käfigs).
Lösung für (b)

Um das E-Feld außerhalb des Hohlzylinders zu bestimmen, wird ein gedachter Gauß-Zylinder (mit Radius \( r \) und Länge \( L \)), um den geladenen Hohlzylinder gelegt.

Ein gedachter Gauß-Zylinder mit dem Radius \(r\) und Länge \(L\) umschließt einen geladenen Leiter mit dem Radius \(R\).

Wie bei Teilaufgabe (a) wird das Gauß-Gesetz ausgenutzt:4\[ \oint_{A}\boldsymbol{E} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} ~=~ \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0} \]

Da es um einen geladenen Zylinder geht, eignen sich für dieses Problem die Zylinderkoordinaten am besten, weil dadurch die Rechnung deutlich einfacher wird. Betrachte das Skalarprodukt auf der linken Seite von 4. Das infinitesimale Flächenelement \( \text{d}\boldsymbol{a} \) steht definitionsgemäß senkrecht auf der Zylinderoberfläche, d.h. in Zylinderkoordinaten verläuft dieser Flächennormalenvektor in \( \boldsymbol{\hat{r}_{\perp}} \)-Richtung. (\( \boldsymbol{\hat{r}_{\perp}} \) ist in Zylinderkoordinaten der Basisvektor, der radial von der z-Achse nach außen zeigt). Also lässt sich das Flächenelement schreiben als: \( \text{d}\boldsymbol{a} = \text{d}a \, \boldsymbol{\hat{r}_{\perp}} \).

Das elektrische Feld \( \boldsymbol{E} \) steht ebenfalls senkrecht auf der Zylinderoberfläche, weil sie leitend ist und die Oberflächenladungen sich so lange verschieben, bis nur noch die senkrechte Komponente des E-Feldes übrig bleibt (Warum?). Das E-Feld lässt sich also schreiben als: \( \boldsymbol{E} = E \, \boldsymbol{\hat{r}_{\perp}} \).

Das Skalarprodukt der Einheitsvektoren des E-Felds und des Flächenormalenvektors ergibt \( \boldsymbol{\hat{r}_{\perp}} \cdot \boldsymbol{\hat{r}_{\perp}} = 1\). Das Gauß-Gesetz 4 vereinfacht sich also zu:5\[ \oint_{A}E ~ \text{d}a ~=~ \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0} \]

Beim Flächenintegral über die Gauß-Mantelfläche \(A\) in 5 steckt sowohl die Integration über den Winkel \(\varphi\) um die Zylinderachse herum und die Integration über die Länge \(z\): \(\text{d}a = r \, \text{d}\varphi \, \text{d}z\). Das elektrische Feld ist jedoch aufgrund der zylindrischen Symmetrie und der homogenen Ladungsverteilung, unabhängig von den Zylinderkoordinaten \(z\) und \(\varphi\), weshalb der Betrag des elektrischen Feldes \(E\) an jedem Punkt der Mantelfläche des Gauß-Zylinders gleich ist. (Die Deckel- und Bodenflächen müssen nicht berücksichtigt werden, da deren Normalenvektoren senkrecht zur Richtung des E-Feldes stehen und deshalb herausfallen.) Der Betrag \(E\) ist also unabhängig von \(z\) und \(\varphi\) und darf deshalb aus dem Integral herausgezogen werden:6\[ E \oint_{A} \, \text{d}a ~=~ \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0} \]

Das Flächenintegral in 6 entspricht der Fläche des betrachteten Gauß-Zylinders (also einfach die Formel für die Zylindermantelfläche mit Abmessungen des Gauß-Zylinders \( 2\pi \, r \, L\)):7\[ E \, 2\pi \, r \, L ~=~ \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0} \]

Die eingeschlossene Ladung \( Q_{\text{in}} \) muss noch verarztet werden, da sie nicht bekannt ist. Dafür kann aber (nach der Aufgabenstellung) die Oberflächenladungsdichte \( \sigma \) benutzt werden - allgemein ist sie als Ladung pro Fläche definiert. Die Ladung ist dabei die vom Gauß-Zylinder eingeschlossene Ladung \( Q_{\text{in}} \). Diese Ladung des Hohlzylinders sitzt komplett auf der Mantelfläche \( 2\pi \, R \, L \) des geladenen Zylinders:8\[ \sigma ~=~ \frac{Q_{\text{in}}}{2\pi \, R \, L} \]

Stelle die Oberflächenladungsdichte 8 nach der Ladung um und setze sie in 7 ein:9\[ E \, 2\pi \, r \, L ~=~ \frac{1}{\varepsilon_0} \, \sigma \, 2\pi \, R \, L \]

Forme jetzt nur noch 9 nach dem Feld \( E \) um und berücksichtige die radiale Richtung des E-Feldes (wegen leitender Oberfläche des Zylinders):

Feldverlauf innerhalb und außerhalb des Hohlzylinders.

E-Feld außerhalb des Hohlzylinders10\[ \boldsymbol{E}(r) ~=~ \frac{\sigma\,R}{\varepsilon_0} \, \frac{1}{r} \, \boldsymbol{\hat{r}_{\perp}} \]
Das elektrische Feld außerhalb eines leitenden Hohlzylinders fällt mit \(\frac{1}{r}\) ab.
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