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Aufgabe mit Lösung Geladene unendliche Ebene: Elektrisches Feld

Eine unendlich ausgedehnte, unendlich dünne Ebene trägt eine homogene Flächenladungsdichte \( \sigma \). Bestimme das elektrische Feld \( \boldsymbol{E} \) an jedem Ort im Raum.

Lösungstipps

Benutze die Maxwell-Gleichung für zeitunabhängiges E-Feld:\[ \nabla ~\cdot~ \boldsymbol{E} ~=~ \frac{1}{\varepsilon_0} \, \rho \]wobei \( \rho \) die (Raum)Ladungsdichte ist.

Nutze außerdem den Gauß-Integraltheorem:\[ \int_{V}\left( \nabla ~\cdot~ \boldsymbol{E} \right) \, \text{d}v ~=~ \oint_{A} \boldsymbol{E} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} \]und nutze die ebene Symmetrie aus.

Lösung

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Gauß-Schachtel, die einen Teil der unendlichen Ebene P einschließt.

Zeichne oder stell Dir ein zur Symmetrie des Problems geeignetes Gauß-Volumen vor. Da es sich um ein Problem mit der ebenen Symmetrie handelt, eignet sich dafür eine Gaußsche Schachtel. Diese umhüllt einen Teil der unendlich ausgedehnten Ebene und zwar so, dass die Ebene die Gaußsche Schachtel genau mittig schneidet.

Setze in das Gauß-Gesetz für das elektrische Feld1\[ \int_{V}\left( \nabla ~\cdot~ \boldsymbol{E} \right) \, \text{d}v ~=~ \oint_{A} \boldsymbol{E} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} \]die folgende Maxwell-Gleichung ein: 2\[ \nabla ~\cdot~ \boldsymbol{E} ~=~ \frac{1}{\varepsilon_0} \, \rho \]

Dann bekommst Du:3\[ \int_{V} \frac{1}{\varepsilon_0} \, \rho \, \text{d}v ~=~ \oint_{A} \boldsymbol{E} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} \]

Die Ladungsdichte \( \rho \) integriert über ein Volumen \(V\) ergibt die von diesem Volumen eingeschlossene Ladung, die beispielsweise als \( Q \) bezeichnet wird:4\[ \frac{Q}{\varepsilon_0} ~=~ \oint_{A} \boldsymbol{E} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} \]

Da es sich laut der Quest um eine Ebene mit der konstanten Flächenladungsdichte \( \sigma \) handelt, ist die eingeschlossene Ladung gegeben durch: 5\[ Q ~=~ \sigma \, A \]wobei \( A \) die von der Gauß-Schachtel eingeschlossene Fläche der unendlich dünnen Ebene ist.

Setze 5 in 4 ein:6\[ \frac{\sigma \, A}{\varepsilon_0} ~=~ \oint_{A} \boldsymbol{E} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} \]

Da die Ebene in jedem ihrer Punkte symmetrisch und homogen ist, zeigt das elektrische Feld auf beiden Seiten aus der Ebene heraus. Auf der oberen Seite der Ebene zeigt das E-Feld in kartesischen Koordinaten in z-Richtung: \( \boldsymbol{E} = E\,\boldsymbol{\hat{e}}_{\text z} \). Deshalb liefern die Seitenflächen der Gauß-Schachtel keinen Beitrag zum Flächenintegral, da elektrisches Feld und der Orthogonalenvektor dieser Seitenflächen senkrecht aufeinander stehen. Betrachte beispielsweise eine Seitenfläche, deren Orthogonalenvektor in x-Richtung zeigt:7\[ \boldsymbol{E} ~\cdot~ \text{d} \boldsymbol{a}_{\text s} ~=~ E\,\boldsymbol{\hat{e}}_{\text z} ~\cdot~ \boldsymbol{\hat{e}}_{\text x} \, \text{d}a_{\text s} ~=~ 0 \]

Die einzigen Stücke der Gaußschen Schachtel, die Beiträge zum E-Feld liefern, sind die beiden Deckelflächen, deren Orthogonalenvektoren in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Also wird die Gleichung 6 zu:8\[ \frac{\sigma \, A}{\varepsilon_0} ~=~ \int_{\text{Deckel 1}} E\,\boldsymbol{\hat{e}}_{\text z} \cdot \boldsymbol{\hat{e}}_{\text z} \, \text{d}a_{\text d} ~+~ \int_{\text{Deckel 2}} (-E\,\boldsymbol{\hat{e}}_{\text z}) \cdot (-\boldsymbol{\hat{e}}_{\text z} \, \text{d}a_{\text d}) \]

Die Basisvektoren des E-Felds und der Orthonormalenvektor der Deckelfläche sind parallel zueinander, das heißt: \( \boldsymbol{\hat{e}}_{\text z} \cdot \boldsymbol{\hat{e}}_{\text z} ~=~ 1 \). Die Integration über die Deckelflächen ergibt ihren Flächeninhalt \( A \). Damit vereinfacht sich 8 zu:9\[ \frac{\sigma \, A}{\varepsilon_0} ~=~ E\,A ~+~ E\,A ~=~ 2E\,A \]

Forme nur noch 9 nach dem E-Feld um. Bezeichnen wir \( \boldsymbol{\hat{n}} := \text{sgn}(z) \, \boldsymbol{\hat{e}}_{\text z} \), um anzudeuten, dass das elektrische Feld senkrecht auf der Ebene steht. Die Funktion \(\text{sgn}(z)\) gibt lediglich ein -1 oder +1, je nach dem, ob das Feld unter oder über der Ebene betrachtet wird. Die Quest ist gelöst:

E-Feld: unendlich ausgedehnte Ebene10\[ \boldsymbol{E} ~=~ \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \, \boldsymbol{\hat{n}} \]

Wie Du an der hergeleiteten Formel 10 siehst, ist das elektrische Feld unabhängig davon, wie weit entfernt Du Dich von der unendlich ausgedehnten Platte befindest! Sonst würde in der Formel eine Ortskoordinate stecken...

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