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Aufgabe mit Lösung BAC-CAB-Regel mit Indexnotation herleiten

Doppeltes Kreuzprodukt, welches in der BAC-CAB-Regel vorkommt.

Schreibe doppeltes Kreuzprodukt \[ \boldsymbol{a} ~\times~ \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right) \]in die sogenannte BAC-CAB-Regel um:\[ \boldsymbol{b} \left( \boldsymbol{a} ~\cdot~ \boldsymbol{c} \right) ~-~ \boldsymbol{c} \left( \boldsymbol{a} ~\cdot~ \boldsymbol{b} \right) \]

Hierbei ist \(\boldsymbol{a} ~\cdot~ \boldsymbol{c} \) das Skalarprodukt zwischen den Vektoren \(\boldsymbol{a}\) und \(\boldsymbol{c}\).

Lösungstipps

Du darfst natürlich an die Quest mit der Brechstange herangehen und die Vektoren ausmultiplizieren. Doch viel einfacher ist es, die Quest mittels der mächtigen Indexnotation zu lösen. Alles, was Du dafür brauchst ist die folgende Definition des Kreuzprodukts mit dem Levi-Civita-Tensor:\[ \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{b} ~=~ \boldsymbol{e}_{i} \, \varepsilon_{ijk} \, a_j \, b_k \]und das Kronecker-Delta \(\delta_{ij}\),mit \(i, j \in \{ 1,2,3 \}\). Wenn du damit nicht vertraut bist, dann solltest du zuerst die beiden Tensoren kennenlernen, bevor du die Quest mit Indexnotaton zu lösen versuchst.

Hier noch ein Tipp für das Vorgehen: Schreibe zuerst das äußere Kreuzprodukt und dann das innere Kreuzprodukt in Indexnotation um. Drücke dann die Levi-Civita-Tensoren mit Kronecker-Deltas aus. Benutze stets die Kronecker-Delta-Rechenregeln, um die Gleichungen zu vereinfachen.

Lösung

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Schreibe zuerst eines der Kreuzprodukte in Indexnotation aus, in dem Du die Definition des Kreuzproduktes mithilfe des Levi-Civita-Tensors einsetzt. Ob Du zuerst das äußere oder das innere Kreuzprodukt umschreibst, spelt keine Rolle. Hier schreiben wir zuerst das äußere Kreuzprodukt um und zwar lassen wir die Summenzeichen weg, weil wir die Einstein-Summenkonvention verwenden. Beachte also, dass im Folgenden über doppelt auftretende Indizes summiert wird. Benutze nun den Hinweis:1\[ \boldsymbol{a} ~\times~ \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right) ~=~ \boldsymbol{e}_{i} \, \varepsilon_{ijk} \, a_j \, \left[ \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right]_k \]

Hierbei bedeutet \(\left[ \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right]_k\) die \(k\)-te Komponente des Kreuzprodukts. Jetzt stehen da noch die Basisvektoren \( \boldsymbol{e}_i \). Damit ist 1 eine Vektorgleichung. Um sie in eine skalare Gleichung zu verwandeln, betrachte die \(i\)-te Komponente des doppelten Kreuzprodukts. So musst Du nicht die Basisvektoren \( \boldsymbol{e}_i \) mitschleppen:2\[ \left[ \boldsymbol{a} ~\times~ \left( \boldsymbol{b} ~\times ~ \boldsymbol{c} \right) \right]_i ~=~ \varepsilon_{ijk} \, a_j \, \left[ \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right]_k \]

Gleichung 2 sagt uns jetzt also, wie wir die \(i\)-te Komponente des doppelten Kreuzprodukts berechnen können. Schreibe auch das innen stehende Kreuzprodukt \( \boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c} \) in Indexnotation um: \(\boldsymbol{e}_k \, \varepsilon_{kmn} \, b_m \, c_n \). Beachte, dass Du hier keinen Vektor hast, sondern die \(k\)-te Komponente von diesem Vektor! Der Basisvektor \( \boldsymbol{e}_k \) wird also weggelassen:3\[ \left[ \boldsymbol{a} ~\times~ \left( \boldsymbol{b} ~\times ~ \boldsymbol{c} \right) \right]_i ~=~ \varepsilon_{ijk} \, a_j \, \varepsilon_{kmn} \, b_m \, c_n \]

Du darfst die Indizes von \(b_m\) und \(c_n\) frei wählen, beachte nur, dass sie nicht mit \(i\), \(j\) oder \(k\) übereinstimmen dürfen. Hier siehst Du hoffentlich schon den Vorteil der Indexnotation! Du hast das doppelte Kreuzprodukt so umgeschrieben, dass Du nur reine Zahlen in der Gleichung 3 hast. Das heißt: Du darfst jetzt alle möglichen Klammern weglassen und Faktoren hin und her vertauschen. Das erlauben dir das Kommutativ- und Assoziativgesetz der Multiplikation. (Mit Ausnahme von Operatoren, wie z.B. einem Differentialoperator, der eine Ableitung darstellt. Schon klar, dass es falsch wäre den Differentialoperator vorzuziehen und dann etwas ganz anderes abzuleiten... aber zum Glück kommen in Deinem Fall keine Operatoren vor!) Also kann die rechte Seite von 3 auch folgendermaßen aussehen:4\[ \varepsilon_{ijk} \, \varepsilon_{kmn} \, a_j \, b_m \, c_n\]

Wie Du siehst, kommt im Produkt der beiden Levi-Civita-Tensoren ein gleicher Index \(k\) vor. Da könntest Du eine wichtige Identität anwenden, die in der Quest "Produkt von zwei Levi-Civita-Tensoren" herausgefunden wurde. Sie lautet nämlich so: 4.1\[ \varepsilon_{kij} \, \varepsilon_{kmn} ~=~ \delta_{im} \, \delta_{jn} ~-~ \delta_{jm} \, \delta_{in} \]

Um die Identät 4.1 auf 4 anwenden zu können, musst Du zuerst Deine Levi-Civita-Tensoren in die gleiche Form bringen wie in der Identität.

Aus der Definition des Levi-Civita-Tensors weißt Du, dass eine gerade Vertauschung von Indizes des Levi-Civita-Tensors (\( ijk ~\rightarrow~ kij ~\rightarrow~ jki \)) nichts am Ergebnis ändert. Gerade vertauschen bedeutet alle Indizes "in eine Richtung zu rotieren". Vertausche also die Indizes in 4, um die beiden Levi-Civita-Tensoren in die gleiche Form zu bringen, wie bei 4.1. Dann bekommst Du:5\[ \varepsilon_{kij} \, \varepsilon_{kmn} \, a_j \, b_m \, c_n\]

Jetzt darfst Du die Identät 4.1 in 5 einsetzen:6\[ \left( \delta_{im} \, \delta_{jn} ~-~ \delta_{jm} \, \delta_{in} \right) \, a_j \, b_m \, c_n\]

Multipliziere die Klammer in 6 aus und wende die Rechenregeln von Kronecker-Delta an:7\[ \delta_{im} \, \delta_{jn} \, a_j \, b_m \, c_n ~-~ \delta_{jm} \, \delta_{in} \, a_j \, b_m \, c_n ~=~ a_n \, b_i \, c_n ~-~ a_m \, b_m \, c_i \]

Dabei stellen Summen \( a_m \, b_m \) und \( a_n \, c_n \) die Skalarprodukte in Indexnotation dar. Schreibe diese Skalarprodukte wieder in vektorielle Form um. Schreibe auch am besten die linke Seite aus 3 wieder hin, um zu schauen, wie weit Du gekommen bist:8\[ \left[ \boldsymbol{a} ~\times~ \left( \boldsymbol{b} ~\times ~ \boldsymbol{c} \right) \right]_i ~=~ b_i \, \left( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} \right) ~-~ c_i \, \left( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \right) \]

Das ist also die Gleichung für die \(i\)-te Komponente des Vektors (des doppelten Kreuzproduktes). Wenn Du den Basisvektor \( \boldsymbol{e}_i \), den Du am Anfang weggelassen hast, wieder miteinbeziehst, bekommst Du eine Gleichung in Vektorschreibweise. Diese kannst Du Dir gleich als BAC-CAB-Regel merken:

Doppeltes Kreuzprodukt (BAC-CAB-Regel)9\[ \boldsymbol{a} ~\times~ \left( \boldsymbol{b} ~\times ~ \boldsymbol{c} \right) ~=~ \boldsymbol{b} \, \left( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} \right) ~-~ \boldsymbol{c} \, \left( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \right) \]
Details zum Inhalt
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