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Aufgabe mit Lösung Stromdurchflossener Leiter: B-Feld innerhalb & außerhalb

Berechne die magnetische Flussdichte \(\boldsymbol{B}\) eines unendlich ausgedehnten, geraden Leiters mit Radius \(R\), in dem ein konstanter Strom \(I\) fließt.

Nimm dabei an, dass der Strom durch die Querschnittsfläche des Leiters homogen verteilt ist.

  1. Berechne das B-Feld außerhalb des Leiters
  2. Berechne das B-Feld innerhalb des Leiters
Lösungstipps

Benutze beispielsweise das Ampere-Gesetz aus der Elektrostatik:\[ \oint_S \boldsymbol{B} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{s} ~=~ \mu_0 \, I_{\text{in}} \]

Und betrachte für innerhalb des Leiters die Stromdichte \( \boldsymbol{j} \):\[ \oint_{A_{\text L}} \boldsymbol{j}~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} ~=~ I \]

mit der Du Du den eingeschlossenen Strom bestimmen kannst. \( A_{\text L} \) ist dabei die Querschnittsfläche des Leiters.

Lösung

Lösung zu (a)

Um das Magnetfeld außerhalb eines langen, geraden Drahts zu bestimmen, bedienst Du Dich des Ampere'schen Gesetzes, in dem Du eine Ampere-Schleife \(S\) um den Draht anlegst. Ihr Radius \(r\) ist - damit sie den Leiter komplett umschließt - größer als der Radius \(R\) des Leiters. Der stromdurchflossene Leiter sollte die Fläche, die diese Ampere'sche Schleife umschließt, durchdringen!

Das Ampere-Gesetz, welches das Magnetfeld mit dem Strom verknüpft, lautet:1\[ \oint_{S}\boldsymbol{B} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{s} ~=~ \mu_0 \, I_{\text{in}} \]

Da die gedachte Ampere-Schleife den ganzen Leiter einschließt, ist der von ihr eingeschlossene Strom genau der Strom, der durch den Leiter fließt (ist also bekannt):2\[ I_{\text{in}} ~=~ I \]

Es ist ein zylindersymmetrisches Problem. Deshalb nutze dafür die Zylinderkoordinanten {\(r_{\perp}\), \( \varphi \), \(z\)}. Im Folgenden wird \( r_{\perp} := r \) gesetzt, damit die Notation einfacher ist. Das infinitesimale \( \text{d}\boldsymbol{s} \)-Element wird entlang der Ampere-Schleife \(S\) von 0 bis \( 2\pi \) aufsummiert. Und sie befindet sich ja im Abstand \( r \) vom Ursprung und geht entlang der \( \varphi \)-Koordinante. Das infinitesimale Element ist ausgeschrieben also:3\[ \text{d}\boldsymbol{s} ~=~ r \, \text{d}\varphi \, \boldsymbol{\hat{\varphi}} \]

Das \( \boldsymbol{\hat{\varphi}} \) ist dabei der Einheitsvektor in \( \varphi \)-Richtung.

Das Magnetfeld - wenn Du Rechte-Hand-Regel anwendest - kreist um den Leiter entlang der \( \varphi \)-Koordinante: \( \boldsymbol{B} ~=~ B \, \boldsymbol{\hat{\varphi}}\). Deshalb hast Du - wenn Du alles einsetzt und vereinfachst: 4 \[ \oint_0^{2\pi} B \, r \, \text{d}\varphi ~=~ \mu_0 \, I \]

Das B-Feld ist aufgrund der Zylinndersymmetrie unabhängig von \( \varphi \), weshalb Du \( \varphi \), aber auch \( r \), rausziehen darfst und easy integrieren kannst: 5 \[ 2\pi \, B \, r ~=~ \mu_0 \, I \]

Wie Du siehst, das B-Feld ist - bei konstantem Strom - nur abhängig vom Abstand r zum Leiter. Forme nur noch nach B um und berücksichtige die \( \boldsymbol{\hat{\varphi}} \)-Richtung des B-Feldes.

Magnetfeldlinien eines dünnen stromdurchflossenen Drahts.

Magnetfeld (außerhalb) - stromdurchflossener Leiter
mit Rr und konstanter Stromstärke:
6 \[ \boldsymbol{B}(r) ~=~ \frac{ \mu_0 \, I }{ 2\pi } \, \frac{1}{r} \, \boldsymbol{\hat{\varphi}} \]
Lösung zu (b)

Um das Magnetfeld innerhalb eines langen, geraden Drahts zu bestimmen, bedienst Du Dich - wie in Teilaufabe (a) - des Ampere-Gesetzes, in dem Du eine Ampere-Schleife \(S\) im Draht anlegst. Ihr Radius \( r \) ist - damit sie im Leiter ist - kleiner als der Radius \(R\) des Leiters.

Rechnest Du das Linienintegral im Ampere-Gesetz aus, dann bekommst Du das gleiche Resultat wie in (a); mit dem Unterschied, dass jetzt der Radius \( r \) der gedachten Ampere-Schleife kleiner - und nicht größer - ist als der Radius \(R\) des Leiters. Du hast also bisjetzt:7\[ 2\pi \, r \, B ~=~ \mu_0 \, I_{\text{in}} \]

Jetzt musst Du aufpassen, denn jetzt ist der von der Schleife eingeschlossene Strom \( I_{\text{in}} \) nicht mehr komplett \( I \), sondern nur ein Teil davon. Wie kommst Du jetzt auf den eingeschlossenen Strom? Indem Du die Stromdichte \( \boldsymbol{j}\) betrachtest, die als Strom, der durch eine bestimmte Querschnittsfläche fließt, definiert ist: 8 \[ \int_{A_{\text L}} \boldsymbol{j} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} ~=~ I \]

Diese bestimmte Querschnittsfläche ist genau die Querschnittsfläche des Leiters, die einem Kreis entspricht: \( A_{\text L} ~=~ \pi \, R^2 \).

Was passiert jetzt, wenn Deine Ampere-Schleife kleiner ist als der Leiterquerschnitt? Dann schneidest Du damit einen Teil des Stroms weg! Nach Aufgabenstellung weißt Du, dass die Stromdichte homogen ist - ganz egal welche Querschnittsfläche Du betrachtest: \( \boldsymbol{j} ~=~ j \, \boldsymbol{\hat{z}} \). Damit wird das Integral in 8 zu: 9 \[ \int_{A_{\text L}} \boldsymbol{j}~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} ~=~ j \, A_{\text L} \]

Also lautet Deine Stromdichte: 10 \[ j ~=~ \frac{I}{A_{\text L}} ~=~ \frac{I}{\pi\,R^2} \]

Damit hast Du auch den eingeschlossenen Strom, also Produkt aus Stromdichte und der von der Ampere-Schleife eingeschlossenen Fläche \( A_S \): 11 \[ I_{\text{in}} ~=~ j \, A_{\text S} ~=~ \frac{I}{\pi \, R^2} \, \pi \, r^2 \]

Kürze und setze \( I_{\text{in}} \) in das Ampere-Gesetz ein, dann hast Du: 12 \[ 2\pi \, r \, B ~=~ \mu_0 \, \frac{I}{R^2} \, r^2 \]

Wenn Du jetzt nur noch nach \( B \) umformst und Magnetfeldrichtung \( \boldsymbol{\hat{\varphi}} \) berücksichtigst, dann hast Du das Magnetfeld bestimmt:

Diagramm für das Magnetfeld \(B\) in Abhängigkeit vom Abstand \(r\) im Inneren und außerhalb des Zylinderleiters.

Magnetfeld (innerhalb) - stromdurchflossener Leiter
mit rR und konstanter Stromstärke:
13 \[ \boldsymbol{B}(r) ~=~ \frac{ \mu_0 \, I}{2\pi \, R^2} \, r ~ \boldsymbol{\hat{\varphi}} \]

Wenn Du das B-Feld an der Stelle \(R\) betrachtest, dann wirst Du sehen, dass die beiden Formeln (für innerhalb und außerhalb) das gleiche Magnetfeld liefern. \(\boldsymbol{B}\) ist also überall stetig.

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