Gradient eines Vektorfelds in 7 Minuten einfach erklärt!

Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Inhalt des Videos

Nabla-Operator
Skalar- und Vektorfelder
Gradient + Beispiel
Richtung des steilsten Anstiegs

Lektion

Gradient: Richtungsableitung & Steigung berechnen

Lerne den Gradient einer Funktion mittels Nabla-Operator zu berechnen und damit die Richtungsableitung zu bestimmen.

Übungsaufgaben mit Lösungen

Übung mit Lösung

Produktregel für den Gradient / Nabla-Operator (2D)

In dieser Übung (mit ausführlicher Lösung) leitest Du die Produktregel her, in der Du den Gradienten von zwei skalaren Funktionen ausrechnest.

Übung mit Lösung

Gradient vom Betrag r eines Ortsvektors

In dieser Aufgabe (mit ausführlicher Lösung) lernst Du den Gradienten vom Betrag eines Ortsvektors zu berechnen.

Übung mit Lösung

Gradient von 1/r und 1/|r-r'| berechnen

Hier berechnest Du den Gradienten von zwei Funktionen, die in der Physik sehr oft vorkommen. Anschließend kannst Du Deine Lösung überprüfen.

Übung mit Lösung

Richtungsableitung von der Betragsfunktion am Ort (1,0,1) in Richtung (2,2,1)

Hier berechnest Du die Steigung an einem bestimmten Ort in vorgegebene Richtung mit gegebener Betragsfunktion.

Passende Formeln

Formel

Gradient einer skalaren Funktion

$$ \nabla \, f(x,y,z) ~=~ \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{bmatrix} $$

Weitere Illustrationen

Gradient einer linearen Skalarfunktion (Homogenes Vektorfeld)

Vektorplot des Gradienten der Skalarfunktion x²+5xy

Vektorplot des Gradientenfeldes der Skalarfunktion x²

fix

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Lektion

Nabla-Operator: Die 3 wichtigsten Anwendungen + 9 Rechenregeln

Lerne Nabla-Operator kennen, mit dem Du Gradienten (grad), Divergenz (div), Rotation (rot) und andere Operatoren darstellen und berechnen kannst.

Nächste Kurseinheit

Video

Divergenz eines Vektorfelds in 5 Minuten einfach erklärt!

Hier lernst Du, was "Divergenz" angewendet auf ein Vektorfeld macht. Am Ende folgt kurze Betrachtung der Divergenz am Satz von Gauß.

Kurs: Mathematik für Physikbegeisterte II